[論文レビュー] Super-renormalizable Multidimensional Quantum Gravity

Leonardo Modesto|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、正則関数（形式因子）を用いて一般相対性理論のアクションを一般化することで、任意の次元 D において超可重整化可能で、ユニタリかつゴーストのない量子重力理論を提案する。局所的で高次の微分項に非局所的で無限級数的な形式因子を用いることで、物理的でない極を回避し、1ループの可重整化性と2ループの有限性を保証する。ニュートン的ポテンシャルは正則であり、D=4 では de Sitter コアを有する特異点のないブラックホール解と、D次元の宇宙論的解が得られる。

ABSTRACT

In this paper we introduce a perturbatively super-renormalizable and unitary theory of quantum gravity in any dimension D. The theory presents two entire functions, a.k.a. "form factors", and a finite number of local operators required by the quantum consistency of the theory itself. The main reason to introduce the entire functions is to avoid ghosts (states of negative norm) like the one in the four-dimensional Stelle's theory. The new theory is indeed ghost-free since the two entire functions have the property to generalize the Einstein-Hilbert action without introducing new poles in the propagator. The theory is renormalizable at one loop and finite from two loops upward. In this paper we essentially study three classes of form factors, systematically showing the tree-level unitarity. We prove that the gravitation potential is regular in r = 0 for all the choices of form factors compatible with renormalizability and unitarity. We also include Black hole spherical symmetric solutions omitting higher curvature corrections to the equation of motions. For two out of three form factors the solutions are regular and the classical singularity is replaced by a "de Sitter-like core" in r=0. For one particular choice of the form factors, we prove that the D-dimensional "Newtonian cosmology" is singularity-free and the Universe spontaneously follows a de Sitter evolution at the "Planck scale" for any matter content. We conclude the article stating that, in the ultraviolet regime, the spectral dimension takes on different values for the three cases: less than or equal to "1" for the first case, "0" for the second one and "2" for the third one. Once the class of theories compatible with renormalizability and unitarity is defined, the spectral dimension has the same short-distance "critical value" or "accumulation point" for any value of the topological dimension D.

研究の動機と目的

• Stelleの高次微分重力におけるゴースト問題を回避しつつ、任意の次元 D における摂動的超可重整化可能でユニタリな量子重力理論を構築すること。
• 正則関数（形式因子）を用いた非局所的一般化により、一般相対性理論のアクションを非局所的に拡張し、余分な極を排除しながらユニタリ性と可重整化性を維持すること。
• 古典的アクションよりも導関数の数が少ない共変的補正項を保証することで、2ループ以降の有限な量子的振る舞いを達成すること。
• ニュートン的ポテンシャルが r=0 で正則であり、ブラックホール解が de Sitter 的コアによって古典的特異点を回避することを示すこと。
• 紫外領域におけるスピン次元の振る舞いを解析し、トポロジカル次元 D に依存しない普遍的な短距離臨界値を示すこと。

提案手法

• d’Alembertian作用素の正則関数（形式因子）2つを用いて、D次元における非局所的アクションを導入し、局所的高次微分項を置き換える。
• BRST不変なゲージ固定とゴースト項を導入し、ユニタリ性を保証する。重力子伝播関数は二次的アクションと形式因子から導出される。
• 運動量空間におけるスピン-2、スピン-1、スピン-0 成分に分解するための射影子 P^(2)、P^(1)、P^(0,s)、P^(0,ω)、P^(0,sω) を用いる。
• 調和ゲージにおける重力子伝播関数を D(k) = -V(k²/Λ²)/[(2π)³σk²](P^(2) - P^(0,s)) として導出。ここで V(z) は複素平面上に零点を持たない正則関数である。
• 高次曲率補正項を運動方程式から省略することで、球対称ブラックホールと D次元宇宙論の解を構成する。
• ヒートカーネルのトレースから有効次元を計算することで、紫外領域におけるスピン次元を解析し、D に依存しない普遍的振る舞いを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D次元における非局所的量子重力理論は、超可重整化可能かつゴーストのない一方でユニタリ性を保てるか？
• RQ2 正則関数形式因子は、重力子伝播関数に物理的でない極やゴーストを生じさせない仕組みは何か？
• RQ3 高次微分項が無限の非局所的級数に置き換えられた場合、ニュートン的ポテンシャルとブラックホール解にどのような影響を与えるか？
• RQ4 D次元の宇宙論的モデルはプランクスケールでも特異点がなく、物質の内容（ダストや放射）にかかわらず自発的に de Sitter 構造に進化するか？
• RQ5 紫外極限におけるスピン次元の振る舞いは何か？また、トポロジカル次元 D に依存しない普遍的な臨界値を示すか？

主な発見

• 理論は超可重整化可能である：補正項の導関数の数は古典的アクションよりも少ない。高次微分係数の無限の正則化は不要である。
• 重力子伝播関数には物理的重力子の極以外に極を含まず、正則関数が複素平面上に零点を持たないためユニタリ性が保証される。
• 可重整化性とユニタリティを満たす形式因子の選択にかかわらず、ニュートン的ポテンシャルは r=0 で正則である。
• 形式因子のクラスのうち2つについては、球対称ブラックホール解が正則であり、r=0 に古典的特異点の代わりに de Sitter 的コアを有する。
• 1つの特定の形式因子の選択において、D次元宇宙論は特異点がなく、物質の内容（ダストまたは放射）にかかわらず、プランクスケールで自発的に de Sitter 空間に進化する。
• 紫外領域におけるスピン次元は、クラス1では d_s ≤ 1、クラス2では d_s = 0、クラス3では d_s = 2 となり、臨界値はすべての D に対して普遍的である。