[論文レビュー] Super Yang-Mills Theory as a Twistor Matrix Model

Jonathan J. Heckman, Herman Verlinde|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、大規模なバックグラウンドフラックスを伴う超-twistor空間上のホロモーフィック Chern-Simons 理論から導かれる行列模型を用いて、$S^4$ 上の $υ=4$ 超ヤン・ミルズ理論に対する共変有限レギュレータを提案する。フラックスは、有限個の点を持つフラットな幾何構造を誘導し、$N$ が非常に大きい極限において、行列模型は通常の $υ=4$ SYM を再現する。これは、ホログラフィーに由来するUVレギュレータであり、4次元量子ホール効果とも関連している。

ABSTRACT

We introduce a covariant finite regulator for N = 4 super Yang-Mills theory on S^4. Our formulation is based on holomorphic Chern-Simons theory on twistor space. By switching on a large background flux, the twistor space dissolves into a fuzzy geometry, with a finite number of points. The large N continuum limit of the matrix model naturally approaches ordinary N = 4 SYM. We comment on the relation between our model and the 4D quantum Hall effect.

研究の動機と目的

• $S^4$ 上の $υ=4$ 超ヤン・ミルズ理論に対する、自由度の重複を避ける共変レギュレータの構築。
• 超-twistor空間上のホロモーフィック Chern-Simons 理論から導かれる行列模型を用いた、このレギュレータの実現。
• モデルの $N$ が非常に大きい連続極限が、$S^4$ 上の標準的 $υ=4$ SYM を再現することの証明。
• このモデルが4次元量子ホール効果および散乱振幅のtwistor形式との関連を示すこと。
• 非可換幾何学を用いて、正の曲率を持つ時空におけるホログラフィーの微視的実現。

提案手法

• 超-twistor空間 $Χ^{3|4}$ 上のホロモーフィック Chern-Simons 理論を出発点として用いる。
• twistor空間に大規模なバックグラウンドフラックスを導入し、それが有限個の点を持つフラットな幾何構造に分解することを促す。
• 脱結合極限を適用して、twistor直線上に有限次元ヒルベルト空間を持つ行列模型を導出する。
• twistor直線と時空ヒルベルト空間間の写像 $B_x, C_x$ を用いて、$D6/D2$-ブレーンの交差に局在化した $BC$ システムを構成する。
• フラットな $\mathbb{CP}^1$ 上の Dolbault 演算子 $\overline{\partial}_{\bar{z}}$ を用いて、行列模型の作用における運動項を定義する。
• 大 $N$ の極限を取ることで、滑らかな twistor直線上の可換 $bc$ システムが得られ、$υ=4$ SYM のMHV振幅が再現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 twistor幾何を用いて、$S^4$ 上の $υ=4$ SYM に対して有限で共変なレギュレータを構築可能か？
• RQ2 twistor空間における大規模なバックグラウンドフラックスが、大 $N$ の極限で標準的 SYM を再現する有限行列模型をどのように導くか？
• RQ3 $BC$ システムおよびその行列積分が、MHV振幅を生成する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ4 大 $N$ の極限において、$B$ および $C$ モードが個々の twistor直線に局在化するのはなぜか？
• RQ5 この行列模型と4次元量子ホール効果、またはtwistor空間におけるCSW関係との関連は何か？

主な発見

• twistor行列模型の $N$ が非常に大きい極限において、滑らかな可換 twistor直線上の $bc$ システムを介して、通常の $S^4$ 上の $υ=4$ SYM の作用が再現される。
• 行列模型の作用は、$\mathcal{S}_{BC}(B_x,C_x) = \mathrm{Tr}_{\mathbb{CP}^1}(B_x(\overline{\partial}_{\bar{z}} + \mathcal{A}_{\bar{z}})C_x)$ に簡略化され、$B_x, C_x$ はフラットな $\mathbb{CP}^1$ 上の $n\times n$ 行列として作用する。
• 大 $N$ の期待値 $\langle z|B_x C_x|w\rangle \sim \frac{1}{z-w}$ は、$bc$ システムのプロパゲーターを再現し、MHV振幅を生成する。
• $B$ および $C$ モードは、バックグラウンドフラックスによるランダウ準位の量子化のため、大 $N$ の極限で個々の twistor直線に局在化し、独立した $BC$ システムとなる。
• 結合定数の関係 $\lambda = g_{\mathrm{MM}}^2 nN_c = g^2_{\mathrm{YM}} N_c$ は、標準的な't Hooft結合定数と一致し、行列模型と物理的 SYM を結びつける。
• このモデルは、フラックスが決定する切断スケールとプランクスケールを同一視できるホログラフィー的UVレギュレータを実現している。