[論文レビュー] Supercongruences involving dual sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、二項係数を含む双対列 $ d_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}2^k $ および $ s_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{x+k}{k} $ に関する新しい $ p $-進超合同式を確立する。$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $ および $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $ を証明し、中心三項係数およびデラノワ数に関する既知の結果を、深いつながりを持つ $ p $-進構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study some sophisticated supercongruences involving dual sequences. For $n=0,1,2,\ldots$ define $$d_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk2^k$$ and $$s_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk\binom{x+k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k\binom xk\binom{-1-x}k.$$ For any odd prime $p$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kd_k(x)^2$ and $\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)d_k(x)^2$ modulo $p^2$; for example, we establish the new $p$-adic congruence $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kd_k(x)^2\equiv(-1)^{\langle x angle_p}\pmod{p^2},$$ where $\langle x angle_p$ denotes the least nonnegative integer $r$ with $x\equiv r\pmod p$. For any prime $p>3$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}s_k(x)^2$ modulo $p^2$ (or $p^3$ if $x\in\{0,\ldots,p-1\}$), and show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)s_k(x)^2\equiv0\pmod{p^2}.$$ We also pose several related conjectures.

研究の動機と目的

• 二項係数および組合せ多項式によって定義される双対列を含む超合同式を調査すること。
• 中心三項係数およびデラノワ数に関する既知の $ p $-進合同式を、より高いモジュラスへと拡張すること。
• $ d_n(x) $ および $ s_n(x) $ の二乗和について、正確な $ p^2 $（および特別な場合に $ p^3 $）での合同式を確立すること。
• ロドリゲス＝ヴィレガス型の予想を一般化し、$ p $-進解析および組合せ恒等式を用いて証明すること。
• カタラン数および一般化された二項係数を含む高次の超合同式に関する新しい予想を提示し、それを支持すること。

提案手法

• 変換 $ a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k a_k $ を用いて双対列を定義し、その母関数および対称的性質を研究する。
• 多項式 $ D_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}y^k $ および $ S_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k}y^k $ を導入し、$ d_n(x) = D_n(x,2) $、$ s_n(x) = S_n(x,-1) $ とする。
• シュ・ヴァンデルモンドの恒等式および $ p $-進整数の性質を用いて、$ p^2 $ および $ p^3 $ での和の解析を行う。
• 既知のリーマン・ゼータ関数の記号、オイラー数、および超幾何恒等式を応用し、$ \sum_{k=0}^{p-1} d_k(x)^2 $ および $ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 $ の合同式を導出する。
• 双対性および対称性：$ d_n(x) = (-1)^n d_n(-1-x) $、$ s_n(x) = s_n(-1-x) $ を活用し、場合を簡略化し合同式を統一する。
• 記号計算および既知の超合同式（カタラン数および一般化された中心二項係数を含む）を用いて予想を提示・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \mod p^2 $ の正確な $ p $-進超合同式は何か？
• RQ2 $ p > 3 $ のとき、$ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 $ は $ p^2 $ でどのように振る舞うか？
• RQ3 $ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \mod p^3 $ についてのロドリゲス＝ヴィレガス型予想を、他の列へ一般化できるか？
• RQ4 $ t_k(x) = S_k(x,-2) $ とすると、$ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $ の構造は何か？
• RQ5 $ \sum_{k=0}^{p-1} (8k+5)t_k(-1/2)^2 $ や類似の重み付き和は、$ p^2 $ で有理関数の形に合同になるか？

主な発見

• 任意の奇素数 $ p $ および $ p $-進整数 $ x $ に対して、$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $ が成り立ち、ここで $ \langle x\rangle_p $ は $ x \mod p $ の最小非負剰余を表す。
• $ p > 3 $ のとき、$ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $ であり、$ x \in \{0, \dots, p-1\} $ の場合、この和は $ p^3 $ で合同となる。
• $ p > 3 $ および $ p $-進整数 $ x $ に対して、$ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $ が成り立つ。
• 本稿では、$ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^3} $ を証明し、キモトとワカヤマの予想を確認した。
• 予想6.13は、カタラン数および一般化された二項係数を含む列の二乗和について、$ p^3 $ および $ p^4 $ での正確な $ p $-進合同式を提示する。
• 予想6.14は、$ 2x \equiv -1 \pmod{p} $ かどうかに応じて2通りの合同式を提示するもので、$ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $ についてのものであり、整数値性および重み付き和の合同式結果を含む。