[論文レビュー] Superconvergence of Galerkin variational integrators

Sina Ober‐Blöbaum, Mats Vermeeren|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次数が最大sの多項式と十分に高精度な求積則に基づくガラーキン変分積分法が、収束順序2sの超収束を達成することを証明する。証明は変分法と改良された誤差見積もりを活用し、これにより予想外の高い収束順序が得られ、従来の結果を一般のラグランジュ系へ拡張し、拡張された定式化により外力が作用する系への応用可能性を示唆する。

ABSTRACT

We study the order of convergence of Galerkin variational integrators for ordinary differential equations. Galerkin variational integrators approximate a variational (Lagrangian) problem by restricting the space of curves to the set of polynomials of degree at most $s$ and approximating the action integral using a quadrature rule. We show that, if the quadrature rule is sufficiently accurate, the order of the integrators thus obtained is $2s$.

研究の動機と目的

• 常微分方程式に対するガラーキン変分積分法の超収束性を確立すること。
• 十分に高精度な求積則のもとで、既知の収束順序をmin(s, u)から2sへ拡張すること。
• 変分法と精緻化された誤差推定を用いた、超収束の一般証明を提供すること。
• 拡張されたラグランジュ定式化を用いて、外力が作用する系への超収束の拡張を検討すること。
• 機械的系における修正ラグランジュ関数と強制的条件の今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 次数≤sの多項式に軌道を制限し、作用積分を求積則で近似することでガラーキン変分積分法を構築する。
• 作用関数への誤差を推定するために変分法を適用し、HallとLeok（2015）の先行研究の誤差バウンドを改善する。
• ラグランジュ関数の非退化性を用いて、オイラー＝ラグランジュ方程式が二階常微分方程式であり、レジェンドル変換が可逆であることを保証する。
• 状態空間を倍加し補助変数を導入することで、外力が作用する系に対して修正ラグランジュ関数のアプローチを採用し、ハミルトンの原理を回復する。
• 制約Q = qを課すことにより、元の外力が作用する運動方程式を回復し、外力付きガラーキン積分法と拡張系のガラーキン積分法の等価性を示す。
• 臨界曲線が作用を最小化すると仮定し、連続解と離散最小化子との差を抑えている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 求積則が十分に高精度な場合、ガラーキン変分積分法の収束順序は標準的なmin(s, u)の上限を上回るか？
• RQ2 変分誤差解析と改良された誤差推定を用いて、収束順序2sの一般的超収束証明を確立できるか？
• RQ3 外部力が作用する場合でも超収束は保持されるか？ その条件は何か？
• RQ4 位置に依存する質量行列を有する機械的ラグランジュ関数に対して、臨界曲線を最小化するための強制的条件を検証できるか？
• RQ5 拡張ラグランジュ定式化を用いて、外力が作用する系に対する超収束を厳密に証明できるか？

主な発見

• 求積則が十分に高精度な場合、ガラーキン変分積分法の収束順序は2sに達し、超収束が確立される。
• 変分法の技術を用いて作用関数への誤差をより正確に推定することで、先行研究の誤差バウンドを改善した。
• 正定値質量行列を有する機械的ラグランジュ関数に対して、臨界曲線を最小化するための強制的条件が満たされることが示され、この結果は主定理の仮定を満たすことを意味する。
• 数値的証拠と低次の例（例：中点則）は、超収束が外力が作用する系に対しても成立すると推測を支持するが、完全な証明は未解決のままである。
• 外力が作用する系は、拡張ラグランジュ関数を用いて再定式化可能であり、ハミルトンの原理を回復できる。これにより、拡張系への超収束結果の適用が可能になる。
• 本稿の証明における外力が作用する系のギャップは、拡張ラグランジュ関数(15)が一般に最小化子仮定を満たさないことである。したがって、この仮定なしに解のずれˆq − ˜qが小さくなる一般性を保証するための今後の研究が求められる。