[論文レビュー] Superconvergence of high order finite difference schemes based on variational formulation for elliptic equations

Hao Li, Xiangxiong Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$C^0$-$Q^k$有限要素法から導かれる高次差分スキームが、$(k+1)\times(k+1)$ガウス＝ロバット・クアドレーションを用いることで、超収束が確立される。変分式における積分をこの四則に置き換えることで、ディリクレ境界条件を満たす楕円型方程式に対して、離散$L^2$ノルムにおいて$(k+2)$次精度を達成し、ガウス＝ロバット点における関数値が最適化を超える速度で収束することを示している。

ABSTRACT

The classical continuous finite element method with Lagrangian $Q^k$ basis reduces to a finite difference scheme when all the integrals are replaced by the $(k+1) imes (k+1)$ Gauss-Lobatto quadrature. We prove that this finite difference scheme is $(k+2)$-th order accurate in the discrete 2-norm for an elliptic equation with Dirichlet boundary conditions, which is a superconvergence result of function values.

研究の動機と目的

• 高次差分スキームが$C^0$-$Q^k$有限要素法から導かれるガウス＝ロバット点における関数値の超収束を確立すること。
• 変分式に$(k+1)\times(k+1)$ガウス＝ロバット四則を用いることで、離散$L^2$ノルムにおいて$(k+2)$次精度を示す差分スキームが得られることを証明すること。
• 超収束を保ちつつ、精度や対称性を損なわずに実用的かつ効率的な差分実装を提供すること。
• 変数係数問題、対流項、三次元問題への解析を拡張し、同一の収束率が成り立つことを確認すること。

提案手法

• $(k+1)\times(k+1)$ガウス＝ロバット四則を用いて、$C^0$-$Q^k$有限要素法の式におけるすべての積分を置き換えることで差分スキームを導出する。これは$Q^k$基底の自由度と一致する。
• 離散問題を、すべての$v_h \to V_0^h$に対して$A_h(u_h, v_h) = \braket{f, v_h}_h$として定式化する。ここで$A_h$および$\braket{f, v_h}_h$は、双一次形式および一次形式にガウス＝ロバット四則を適用する。
• 解および係数の滑らかさの仮定の下で、得られたスキームが離散$L^2$ノルムにおいて$(k+2)$次精度であることを証明する。
• 変分解析および離散グリーン関数技術を用いて、ガウス＝ロバット点における誤差を評価し、四則ノードの超収束特性を活用する。
• 2次元および3次元のポアソン方程式、変数係数問題、対流拡散方程式（ディリクレおよびノイマン条件）に対して理論的結果を数値的に検証する。
• テンソル積四則を用いた行列アセンブリにより、スキームを効率的に実装し、反復法または直接法を用いて線形方程式系を解く。第7.4節で示されているように。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス＝ロバット四則を用いて$C^0$-$Q^k$有限要素法から導かれる高次差分スキームは、四則ノードにおける関数値の超収束を達成できるか？
• RQ2 $(k+1)\times(k+1)$ガウス＝ロバット四則を変分式に用いることで、ディリクレ境界条件を満たす楕円型問題において、離散$L^2$ノルムにおける$(k+2)$次精度が保たれるか？
• RQ3 変数係数問題、対流項、三次元問題において、このスキームはどのように動作し、超収束率は維持されるか？
• RQ4 得られたスキームは、標準的な差分ステンシルとして効率的に実装可能であり、高次精度および対称性を保持できるか？
• RQ5 ガウス＝ロバット点における最大ノルムの超収束行動は何か？また、$L^2$ノルムの結果と比較するとどうなるか？

主な発見

• $(k+1)\times(k+1)$ガウス＝ロバット四則を用いて$C^0$-$Q^k$FEMから導かれる差分スキームは、ディリクル境界条件を満たす楕円型方程式に対して、離散$L^2$ノルムにおいて$(k+2)$次精度を達成する。
• k=2の場合、2次元および3次元のポアソン問題における数値実験により、$L^2$および$L^\frown$ノルムの両方で4次精度が確認された。
• スキームは剛性行列の対称性を維持しており、行列アセンブリを効率的に行えるため、高次シミュレーションに実用的である。
• 数値結果から、$k=2$の場合、$L^2$ノルムで約3.95–3.96、$L^\frown$ノルムで3.92–3.94の収束次数が観測され、理論的な$(k+2)$次超収束が確認された。
• 超収束結果は三次元問題および変数係数問題へも拡張可能であり、$k=2$の場合、$L^2$ノルムで4.00–4.04、$L^\frown$ノルムで4.00の収束次数が観測された。
• 非圧縮性速度場を有する対流拡散問題に対しても、このスキームは有効であり、両ノルムで$O(h^{k+2})$の収束が達成された。