[論文レビュー] Superconvergence of Local Discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations

Waixiang Cao, Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、交互に作用する数値フラックスを用いた1次元線形放物型方程式に局所不連続ガラーキン（LDG）法を適用した場合の超収束結果を確立する。適切な初期離散化のもとで、メッシュノードおよび領域平均における数値フラックスについて$2k+1$次超収束率を証明し、ラダウ点における関数値については$k+2$次、微分値については$k+1$次超収束を示す。これは、ラダウ点における微分値の$k+2$次超収束についての最初の厳密な証明を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we study superconvergence properties of the local discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations when alternating fluxes are used. We prove, for any polynomial degree $k$, that the numerical fluxes converge at a rate of $2k+1$ (or $2k+1/2$) for all mesh nodes and the domain average under some suitable initial discretization. We further prove a $k+1$th superconvergence rate for the derivative approximation and a $k+2$th superconvergence rate for the function value approximation at the Radau points. Numerical experiments demonstrate that in most cases, our error estimates are optimal, i.e., the error bounds are sharp.

研究の動機と目的

• 1次元線形放物型方程式に適用されたLDG法の鋭い超収束率を確立すること。
• ラダウ点などの特定の点における数値フラックス、セル平均、解近似の収束挙動を分析すること。
• 時間依存問題における解とその空間微分の両方の誤差を同時に補正する新しい補正関数技術を開発すること。
• 領域平均およびノードにおけるフラックスの$2k+1$次超収束率が最適かつ鋭いかを証明すること。
• 数値実験を通じて、理論的誤差境界がタイトであり、ラダウ点における微分値の$k+2$次超収束が達成可能であることを示すこと。

提案手法

• LDG解に非常に近い特別な補正関数を構築し、解$u$とその微分$q = u_x$の両方と一致させる。
• 数値フラックス選択と整合するように、ガウス・ラダウ射影$P_h^+u$と$P_h^-q$を用いて補間関数を定義する。
• 時間依存効果を考慮した、解とその微分の両方の誤差を同時に補正する連携補正関数フレームワークを用いる。
• LDGの弱形式と安定性解析を用いてエネルギー推定と誤差方程式を導出する。
• 補正関数を応用して、$2k+1$次の超接近性を証明し、離散点における超収束を導く。
• 初期射影を正確な解と一致させるように初期離散化を設計し、最適収束率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元線形放物型方程式に適用されたLDG法において、領域平均およびメッシュノードにおける数値フラックスの超収束率は何か？
• RQ2 適切な初期条件のもとで、LDG解はラダウ点における関数値で$k+2$次超収束を達成できるか？ また、微分値では$k+1$次超収束を達成できるか？
• RQ3 数値フラックスおよび領域平均の$2k+1$次超収束率は鋭くかつ最適か？
• RQ4 補正関数技術は、楕円的または双曲的問題とは異なり、時間依存性を有する放物型問題へどのように拡張できるか？
• RQ5 初期離散化は、LDGスキームにおける高次超収束を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な初期離散化のもとで、LDG法は領域平均およびすべてのメッシュノードにおける数値フラックスについて$2k+1$次超収束率を達成する。
• 本手法は、ラダウ点における関数値近似で$k+2$次超収束を示し、同様に微分値近似でも$k+1$次超収束を示す。
• LDG解と正確な解のガウス・ラダウ射影との間の誤差は$k+2$次で収束し、超収束が確認される。
• 数値実験により、理論的誤差境界がタイトであることが確認され、観測された収束率は予測された$2k+1$および$k+2$次と一致する。
• 領域平均の$2k+1$次超収束率は、従来の結果よりも$1/2$次高いため、精度が向上していることを示す。
• 本研究は、放物型方程式におけるLDG枠組みで、ラダウ点における微分値近似の$k+2$次超収束についての最初の厳密な証明を提供する。