[論文レビュー] Superconvergence Points of Spectral Interpolation

Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、チェビシェフ多項式およびルジャンドル多項式を用いたスペクトル補間におけるスーパー収束点を特定し、微分近似が特定のノード点でグローバル収束速度を上回る収束を示すことを示している。具体的には、1階微分ではチェビシェフ-U多項式の零点、関数値の補間においては$T_{N-1}$の根がスーパー収束点となる。主な貢献は、高次多項式補間におけるスーパー収束の解析的条件を確立し、グローバル収束速度を超える精度を特定の点で達成可能にするものである。

ABSTRACT

In this work, we study superconvergence properties for some high-order orthogonal polynomial interpolations.The results are two-folds: When interpolating function values, we identify those points where the first and second derivatives of the interpolant converge faster;When interpolating the first derivative,we locate those points where the function value of the interpolant superconverges. For the earlier case, we use various Chebyshev polynomials; and for the later case,we also include the counterpart Legendre polynomials.

研究の動機と目的

• 区間$[-1,1]$内の、スペクトル補間による微分近似がグローバル速度を上回って収束する点を特定すること。
• $h$バージョン有限要素法におけるスーパー収束解析を、$p$バージョンスペクトル法およびスペクトルコロケーションに拡張すること。
• 微分を補間する際、関数値近似がスーパー収束する点を特定すること。
• 特にチェビシェフおよびルジャンドル型の直交多項式を用いて、スーパー収束のための解析的条件を提供すること。
• スペクトル法および$p$バージョン法における適応的手法と後験的誤差推定の基盤を構築すること。

提案手法

• 第1種チェビシェフ多項式($T_N$)、第2種チェビシェフ多項式($U_N$)および関連ノード集合（ルジャンドル・ロバッチおよびラダウ点）を用いた解析的関数の補間を分析する。
• $N$および$\theta_k$を含む三角関数方程式を解くことで、1階および2階微分のスーパー収束条件を導出する。
• 直交多項式の恒等式および積分表現を用い、誤差を$T_N$、$U_N$およびそれらの組み合わせの形で表現する。
• 漸近解析を適用し、誤差の大きさが主項に支配され、スーパー収束点ではその主項が消えることを示す。
• ルンゲの関数や$(2-x)^{-1}$など、既知の特異点を持つ解析的関数を用いた数値実験により理論的結果を検証する。
• チェビシェフの根、チェビシェフ・ロバッチ点、チェビシェフ・ラダウ点といった異なるノード配置における収束特性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェビシェフ補間において、1階および2階微分がスーパー収束する点はどこか？
• RQ2 微分を補間する際、補間関数の関数値がスーパー収束する点はどこか？
• RQ3 チェビシェフ多項式のスーパー収束点は、ルジャンドル多項式のそれとどのように異なるか？
• RQ4 主項のキャンセルを介してスーパー収束を特定できる解析的誤差表現を導出できるか？
• RQ5 スーパー収束点の位置と関連する直交多項式の根との間にどのような関係があるか？

主な発見

• チェビシェフ補間において$T_{N+1}$の零点で、1階微分は$U_N$の零点、すなわち$\cos(k\pi/(N+1))$（$k=1,\dots,N$）でスーパー収束する。
• 2階微分のスーパー収束は、$(N+1)\cos(N+1)\theta\sin\theta = \sin(N+1)\theta\cos\theta$を満たす点で発生し、$N$が大きい場合には$T_{N+1}$の内部根に近い。
• チェビシェフ・ロバッチ補間では、$N\cos N\theta\sin\theta + \sin N\theta\cos\theta = 0$を満たす点で1階微分がスーパー収束し、$\theta_k \approx (2k-1)\pi/(2N)$に近い。
• 2階微分のスーパー収束は、$(N^2-1)\sin N\theta\sin\theta = 2N\cos N\theta\cos\theta$を満たす点で発生し、$\sin N\theta$の内部零点に近い。
• チェビシェフ・ロバッチ点で1階微分を補間する場合、関数値は内部2型チェビシェフ点でスーパー収束し、理論的誤差境界と整合的である。
• 数値実験により、スーパー収束点における誤差が最大誤差のおよそ1桁小さくなることが確認され、ルンゲの関数および$(2-x)^{-1}$の両方で理論的予測が妥当であることが裏付けられた。