[論文レビュー] Superelliptic jacobians

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Cephalopods and Marine Biology被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$k$ が代数閉体で、$f(x)$ が二重推移的ガロア群をもつ次数 $n=3$ または $4$ の多項式である関数体 $K = k(t)$ 上の超楕円曲線 $y^q = f(x)$ のヤコビアンの自己準同型代数と等質性に関する性質を調査する。奇素数のべき $q = p^r$ の場合、ヤコビアン $J(C_{f,q})$ は完全に非等質的であり、自己準同型代数は $
\prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$ に同型であり、$q$ が奇素数のべきのとき $
\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$ が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We discuss the structure of the endomorphism algebras of the jacobians of superelliptic curves y^q=f(x) where q is a prime power and f(x) is an irreducible cubic or quartic polynomial over the field of rational functions k(t) in characteristic zero, whose Galois group is the full symmetric group.

研究の動機と目的

• 関数体 $K = k(t)$ 上の曲線 $y^q = f(x)$ の超楕円ヤコビアン $J(C_{f,q})$ に対して、自己準同型代数 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$ の構造を特定すること。
• 次数 $n=3$ または $4$、$\mathrm{Gal}(f)$ が二重推移的（すなわち $S_3$、$A_4$、$S_4$）であり、$q = p^r$ で $p$ が奇素数で $n$ を割らない場合に、$J(C_{f,q})$ が完全に非等質的であることを確立すること。
• 特別に $q=4$ の場合を別個に分析し、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,4}))$ が $\mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$ に同型であり、ヤコビアンが複素乗法を持つ楕円曲線を含む積に同種であることを示すこと。
• 高 genus の超楕円曲線に関する先行研究の結果を、$n=3$ および $n=4$ の未解決ケースに拡張し、二重推移的ガロア作用の下での自己準同型代数の分類を完成させること。

提案手法

• ヤコビアンが $\mathbf{A}^1 \setminus B$ 上でどのように振る舞うかを調べるため、ネロンモデルおよび良い還元の理論を用いる。ここで $B$ は悪い還元点の有限集合である。
• 体の拡大と特殊化の技法を適用し、$k_0 \setminus B$ 内の $k$-有理点 $a$ におけるファイバー $J(C_{f_a,q})$ を比較する。この際、分解体の線形独立性を用いる。
• 文献[38]の系3.6を用いて、$\mathrm{End}^0$ 内での $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ の中心化環を解析することで、ファイバー間の非ゼロ準同型が存在しないことを排除する。
• 定理4.2(b) を用いて、ファイバー間の準同型が存在しないことから、一般ファイバー $J(C_{f,q})$ が完全に非等質的であることを示す。
• 定理5.18 および補題5.11 を適用し、$q=4$ の場合の $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$ を計算する。この際、$j$-不変量が超越的である楕円曲線の自己準同型環に関する既知の結果を活用する。
• 円分体における最大整数環に関する結果と、$\mathbf{Z}[\zeta_q]$ が $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ の最大整数環であるという事実を組み合わせ、$q$ が奇素数のべきのとき $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n=3$ または $n=4$ で $\mathrm{Gal}(f)$ が二重推移的であるとき、超楕円ヤコビアン $J(C_{f,q})$ の $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$ の構造は何か？
• RQ2 次数 $n=3$ または $4$、$\mathrm{Gal}(f)$ が $S_3$、$A_4$、$S_4$ であり、$q = p^r$（$p$ は奇素数で $n$ を割らない）であるとき、$J(C_{f,q})$ は $k(t)$ 上で完全に非等質的か？
• RQ3 特に $n=3$ の場合に $q=4$ であるとき、自己準同型代数はどのように変化するか？
• RQ4 $q=p$ を奇素数とするとき、$\mathrm{End}(J(C_{f,q}))$ は明示的に計算可能か？また、それは円分体 $\mathbf{Q}(\zeta_p)$ の整数環と一致するか？
• RQ5 $r \geq 3$ で $q = 2^r$、$n=3$ の場合、$J(C_{f,q})$ の同種分解は何か？

主な発見

• 次数 $n=3$、$\mathrm{Gal}(f) = S_3$、$q = p$ を奇素数とするとき、$J(C_{f,p})$ は完全に非等質的であり、$\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$ が成り立つ。
• 次数 $n=4$、$\mathrm{Gal}(f) = S_4$ または $A_4$、$q = p$ を奇素数とするとき、$J(C_{f,p})$ は完全に非等質的であり、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$、$\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$ が成り立つ。
• 奇素数 $p$ と $n=3$ または $4$ に対して $q = p^r$ であるとき、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$ であり、$J(C_{f,q})$ は完全に非等質的である。
• $q=4$ で $n=3$ のとき、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,4})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$ であり、$J(C_{f,4})$ は $C_{f,2}: y^2 = f(x)$ と楕円曲線 $y^3 = x^3 - x$ の平方との積に同種である。
• $r > 2$ で $q = 2^r$、$n=3$ のとき、$\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1})) \times \prod_{i=3}^r \mathbf{Q}(\zeta_{2^i})$ であり、$J(C_{f,q})$ は完全に非等質なアーベル多様体、$C_{f,2}$、および $y^3 = x^3 - x$ の平方を含む積に同種である。
• 結果として、$\mathbf{Z}[\zeta_q]$ が $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ の最大整数環であることが確認され、したがって $q = p^r$ を奇素数のべきとするとき $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$ が成り立つ。