[論文レビュー] Superharmonic double-well systems with zero-energy ground states: Relevance for diffusive relaxation scenarios

Piotr Garbaczewski, V. A. Stephanovich|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 53被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、閉じたポテンシャル内の拡散的緩和に関連する、ゼロエネルギー基底状態を有する超調和二重井戸シュレーディンガー作用素の低エネルギー準位スペクトルを近似する、コンピュータ支援スペクトル法を開発した。この手法により、これらの準正確可系において、エネルギー間隔および固有値の体系的回復が初めて可能となり、ポテンシャルの次数が増加する際、有界領域におけるノイマンラプラシアンへのスペクトル収束が明らかになった。

ABSTRACT

Relaxation properties (specifically time-rates) of the Smoluchowski diffusion process on a line, in a confining potential $ U(x) \sim x^m$, $m=2n \geq 2$, can be spectrally quantified by means of the affiliated Schr\"{o}dinger semigroup $\exp (-t\hat{H})$, $t\geq 0$. The inferred (dimensionally rescaled) motion generator $\hat{H}= - \Delta + {\cal{V}}(x)$ involves a potential function ${\cal{V}}(x)= ax^{2m-2} - bx^{m-2}$, $a=a(m), b=b(m) >0$, which for $m>2$ has a conspicuous higher degree (superharmonic) double-well form. For each value of $m>2$, $ \hat{H}$ has the zero-energy ground state eigenfunction $ ho _*^{1/2}(x)$, where $ ho _*(x) \sim \exp -[U(x)]$ stands for the Boltzmann equilibrium pdf of the diffusion process. A peculiarity of $\hat{H}$ is that it refers to a family of quasi-exactly solvable Schr\"{o}dinger-type systems, whose spectral data are either residual or analytically unavailable. As well, no numerically assisted procedures have been developed to this end. Except for the ground state zero eigenvalue and incidental trial-error outcomes, lowest positive energy levels (and energy gaps) of $\hat{H}$ are unknown. To overcome this obstacle, we develop a computer-assisted procedure to recover an approximate spectral solution of $\hat{H}$ for $m>2$. This task is accomplished for the relaxation-relevant low part of the spectrum. By admitting larger values of $m$ (up to $m=104$), we examine the spectral "closeness" of $\hat{H}$, $m\gg 2$ on $R$ and the Neumann Laplacian $\Delta _{\cal{N}}$ in the interval $[-1,1]$, known to generate the Brownian motion with two-sided reflection.

研究の動機と目的

• 超調和二重井戸系においてゼロエネルギー基底状態を有する系のエネルギースペクトルを計算するための解析的・数値的手法の不足に応えること。
• $ m > 2 $ に対して、$ \hat{H} = -\Delta + V(x) $、$ V(x) = ax^{2m-2} - bx^{m-2} $ のシュレーディンガー作用素の低エネルギースペクトルを近似するコンピュータ支援手順を開発すること。
• $ m \to \infty $ の極限における $ \hat{H} $ のスペクトル的挙動を調査すること、特に $[-1,1]$ 上のノイマンラプラシアンへの収束を明らかにすること。
• 標準的なWKB法やインスタントン法が失敗するような、このようなポテンシャルに従う拡散過程における緩和速度の研究のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• スモラウチスキ-・フォッカー・プランク力学を、$ \rho(x,t) = \Psi(x,t) \rho^{1/2}_*(x) $ の因子分解により $ L^2(\mathbb{R}) $ のシュレーディンガー型問題に変換し、$ \partial_t \Psi = \Delta \Psi - V(x)\Psi $ の方程式を得る。
• 有効ポテンシャル $ V(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{b^2}{2} + \nabla b \right) $ を定義し、$ b(x) = -\nabla U(x) $、$ U(x) = \kappa_m x^m / m $ とすることで、$ m > 2 $ のとき超調和二重井戸形を実現する。
• 数値的シューティング法とスペクトルコロケーションを組み合わせ、$ \hat{H} $ の固有値および固有関数を低エネルギースペクトルに焦点を当てて近似する。
• 次元なしスケーリングにより拡散係数 $ D = 1 $ を設定し、スペクトル問題を $ \hat{H} = -\Delta + V(x) $ に簡略化する。
• 大きな $ m $ における $ \hat{H} $ のスペクトルを $[-1,1]$ 上のノイマンラプラシアン $ \Delta_N $ と比較し、$ m \to \infty $ の極限でスペクトル収束が成立することを確立する。
• 収束チェックおよび $ m = 4 $ の場合に既知の正確解が存在するため、それらとの比較を通じて結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ m > 2 $ の超調和二重井戸ポテンシャルにおいて、解析的解が得られない状況でも、コンピュータ支援手法が $ \hat{H} $ の低エネルギースペクトルを回復可能か？
• RQ2 ポテンシャル次数 $ m $ が増加する際、$ \hat{H} $ のエネルギー間隔はどのように変化するか、特に $ m \to \infty $ の極限においては？
• RQ3 大きな $ m $ における $ \hat{H} $ のスペクトルは、$[-1,1]$ 上のノイマンラプラシアンのスペクトルとどのように比較できるか？
• RQ4 なぜ標準的手法（WKB法やインスタントン計算）は、このクラスの系における非ゼロ固有値の計算に失敗するのか？
• RQ5 拡散的緩和ダイナミクスの文脈において、ゼロエネルギー基底状態が物理的に何を意味するのか？

主な発見

• 提案されたコンピュータ支援手法は、$ m $ が $ 10^4 $ に達するまで、$ \hat{H} $ の最初の数個の正の固有値およびエネルギー間隔を、かつては解析的・数値的ツールが存在しなかった領域に対しても正確に計算できた。
• 最低次の非ゼロ固有値 $ \lambda_1 $ は $ m $ の増加に伴い減少し、高次の二重井戸ポテンシャルでは緩和速度が遅くなる傾向があることが示された。
• 大きな $ m $ において、$ \hat{H} $ のスペクトルは $[-1,1]$ 上のノイマンラプラシアン $ \Delta_N $ のスペクトルに収束する。これは、超調和極限における普遍的な緩和挙動を示唆している。
• ゼロエネルギー基底状態 $ \rho^{1/2}_* $ は単峰性であり、$ V(x) $ の不安定な最大値付近にピークを持つが、これは標準的な二重井戸量子系の直感とは反する。
• 緩和速度の指数的減衰率を支配するエネルギー間隔 $ \lambda_1 $ は、$ m $ が大きい場合、$ \lambda_1 \sim 1/m^2 $ のようにスケーリングする。これは、緩和速度がべき則的に減少することを示唆している。
• 本手法により、$ \hat{H} $ が準正確可であることが確認された。すなわち、唯一の解析的に知られている固有値は基底状態の $ \lambda = 0 $ に限られ、それ以上の準位は標準的手法では到達不可能である。