[論文レビュー] Superintegrability for ($β$-deformed) partition function hierarchies with $W$-representations

Rui Wang, Fan Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、W表現を用いて(β変種の)分配関数階層を構築し、シュール多項式およびジャン多項式を用いたキャラクター展開がスーパーインテグラビリティを示すことを示した。主な結果は、ガウス型ヘルミート行列モデルや複素行列モデルといった既知の行列モデルが、これらの階層に埋め込まれており、対称関数上のW作用素の作用により明示的なキャラクター展開が得られることである。

ABSTRACT

We construct the ($β$-deformed) partition function hierarchies with $W$-representations. Based on the $W$-representations, we analyze the superintegrability property and derive their character expansions with respect to the Schur functions and Jack polynomials, respectively. Some well known superintegrable matrix models such as the Gaussian hermitian one-matrix model (in the external field), $N imes N$ complex matrix model, $β$-deformed Gaussian hermitian and rectangular complex matrix models are contained in the constructed hierarchies.

研究の動機と目的

• W表現を用いて(β変種の)行列モデルの分配関数階層を構築すること。
• 対称関数上のW作用素の作用を用いて、これらの階層のスーパーインテグラビリティ性を分析すること。
• 分配関数のシュール関数およびジャン多項式を用いたキャラクター展開を導出すること。
• 既知のスーパーインテグラブルな行列モデル（例えばガウス型ヘルミート行列モデルや複素行列モデル）を、構築された階層に埋め込むこと。
• 将来の一般化を通じて、ジャン多項式およびマクドナルド多項式への接続を含めた、フレームワークのβ変種への拡張を検討すること。

提案手法

• Hurwitz作用素 $W_0$ 及び $p_1$ と $\partial_{p_1}$ との交換関係を定義し、再帰的交換関係により $W$-作用素 $W_{-n}$ の階層を生成する。
• 定数関数 1 に作用する $W_{-n}$ 作用素を用いて、$n \geq 1$ に対して分配関数階層 $Z_{-n}\{p\} = e^{W_{-n}/n} \cdot 1$ を構築する。
• $W_{-n}$ がシュール関数 $S_\lambda$ に作用する際、$n$ 個の正方形を加えたヤング図形の和として表され、各項は $(j_\square - i_\square + N)^\alpha$ の積で重みづけられる。
• W表現およびコーシーの恒等式を用いて、分配関数のシュール関数を用いたキャラクター展開を導出する。
• β変種の場合に一般化するため、$\mathcal{W}_0$、$\bar{E}_{-1}$、$\mathcal{W}_n$ 作用素を導入し、ジャン多項式 $J_\lambda$ に作用させる。
• $\beta$-変種W作用素を用いて、$\beta$-変種分配関数階層 $\mathcal{Z}_n\{g|p\}$ のジャン多項式を用いたキャラクター展開を導出し、$J_\lambda\{p_k = N\}$ と $\langle J_\lambda, J_\lambda \rangle_\beta$ の比を含む形とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W表現を用いて(β変種の)行列モデル分配関数を体系的に構築できるか？
• RQ2 これらのW表現階層は、シュール多項式およびジャン多項式を用いたキャラクター展開を通じてスーパーインテグラビリティを示すか？
• RQ3 構築された階層に、ガウス型ヘルミート行列モデルや複素行列モデルといった既知の行列モデルが含まれるか？
• RQ4 対称関数上のW作用素の作用が、対称関数の構造的比を含む明示的キャラクター展開をどのように導くか？
• RQ5 $\beta$-変種が、W表現フレームワークをジャン多項式およびマクドナルド多項式へ一般化する役割を果たすか？

主な発見

• 分配関数階層 $Z_{-n}\{p\} = e^{W_{-n}/n} \cdot 1$ は、シュール関数を用いたキャラクター展開をもたらし、$W_{-n}$ はヤング図形に $n$ 個の正方形を加える和を生成する微分作用素として作用し、各項の重みは $\prod_{k=1}^n (j_{\square_k} - i_{\square_k} + N)^\alpha$ となる。
• 階層 $Z_{-n}\{p\}$ のキャラクター展開は $\sum_{\lambda} e^{t c_\lambda} S_\lambda\{p_k = e^{-tN} \delta_{k,1}\} S_\lambda\{p\}$ で与えられ、KP階層の$\tau$関数構造を確認する。
• $N \times N$ 複素行列モデルおよび外部場付きのガウス型ヘルミート1行列モデルは、階層 $Z_{-n}\{p\}$ に明示的に含まれる。
• $\beta$-変種の場合、分配関数階層 $\mathcal{Z}_n\{g|p\} = e^{\mathcal{W}_n/n} e^{\beta \sum_{k=1}^\infty \frac{p_k g_k}{k}}$ は、比 $\frac{J_\lambda\{p_k = N\} J_\mu\{p_k = \delta_{k,1}\}}{J_\mu\{p_k = N\} J_\lambda\{p_k = \delta_{k,1}\}}$ を含むジャン多項式を用いたキャラクター展開を許容する。
• $\beta$-変種階層は、$\beta$-変種ガウス型ヘルミート行列モデルおよび長方形型複素行列モデルを特別な場合として含む。
• $\beta$-変種階層のキャラクター展開は $\sum_{\lambda,\mu} \beta^{\frac{| one|}{n}(n\alpha - 1)} \left( \frac{J_\lambda\{p_k = N\} J_\mu\{p_k = \delta_{k,1}\}}{J_\mu\{p_k = N\} J_\lambda\{p_k = \delta_{k,1}\}} \right)^\alpha \frac{J_{\lambda/\mu}\{p_k = \delta_{k,n}\}}{\langle J_\lambda, J_\lambda \rangle_\beta \langle J_\mu, J_\mu \rangle_\beta} J_\lambda\{g\} J_\mu\{p\}$ として表され、比構造を通じてスーパーインテグラビリティが確認される。