[論文レビュー] Superintegrable three body systems in one dimension and generalizations

Claudia Maria Chanu, Luca Degiovanni+1 more|ArXiv.org|Jul 30, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相対座標における同次次数(-2)ポテンシャルを、円柱座標および球面-円柱座標を用いて表現することにより、直線上の超可積分的3体系を多体系および高次元多様体へ一般化する。このような系が複数の2次および、いくつかの場合は3次第一積分を有することを示し、最大可積分性および位相シフトによる相互作用の同値類をもたらす。

ABSTRACT

Superintegrable Hamiltonian systems describing the interactions among three point masses on a line have been described in [2]. Here, we show examples of how the approach of above can be extended to a higher number of particles on a line and on higher dimensional manifolds. This paper is a slightly extended version of a poster presented at the XVI ICMP held in Prague, 3-8 August 2009.

研究の動機と目的

• 直線上の超可積分的3体系を3体を超える粒子系へ一般化すること。
• 超可積分性を保ちながら、高次元ユークリッド空間へ枠組みを拡張すること。
• 角度座標における位相シフトを用いて、多体系相互作用の同値類を特定すること。
• 2次および3次を含む複数の独立な第一積分を持つハミルトニアンを構成すること。
• 相対粒子距離における同次次数(-2)ポテンシャルが、高次元配置空間における動径変数および角度変数の関数として表現可能であることを示すこと。

提案手法

• 正準座標を用いて、直線上のn体系をn次元ユークリッド空間内の1粒子系に変換する。
• 相対距離 $X_i = x^i - x^{i+1}$ の関数としてポテンシャルを表現し、これらが次数-2の同次関数であることを示す。
• ハミルトン・ジャコビ方程式における変数分離のため、円柱座標および球面-円柱座標 $(r, oldsymbol{ heta}, u)$ を導入する。
• $oldsymbol{ u}$-軸に沿う回転および平行移動の対称性から、2次第一積分 $H_1, H_2, H_3, H_5, H_6$ を同定する。
• 二項係数および微分を用いて、$V = rac{k}{[r an(2n+1) heta]^2}$ の形のポテンシャルに対して、5番目の一般形の3次第一積分を導出する。
• $n$-点系を $oldbb{R}^{m imes n}$ に埋め込み、全運動量保存則の不変性を課すことにより、$m$-次元多様体へ応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直線上の超可積分的3体系は、$n > 3$ 個の粒子を持つ系へ一般化可能か？
• RQ2 角度座標 $ heta$ における位相シフトは、多体系相互作用の同値類をどのように導くか？
• RQ3 同次次数(-2)ポテンシャルを持つ$n$体系における第一積分の構造は何か？
• RQ4 特定のポテンシャル族に対して、5番目の3次第一積分を体系的に構成可能か？
• RQ5 高次元多様体における多体系は、座標変換および対称性制約を用いて、どのように超可積分的形に還元可能か？

主な発見

• 任意の相対距離 $X_i$ における同次次数(-2)ポテンシャルは、$bR^n$ における球面-円柱座標で $V = rac{1}{r_{n-1}^2} ilde{ ho}(oldsymbol{ heta})$ の形に書ける。
• カロジェロおよびウルフスのポテンシャルは、$ heta$ における $rac{ au}{6}$ 位相シフトの下で等価であることが示され、2体および3体の性質の違いにもかかわらず同値である。
• $V = rac{k}{[r an(2n+1) heta]^2}$ の形のポテンシャルは、5番目の独立な3次第一積分を有し、最大可積分的である。
• $n=4$ の場合、系は $2n-2 = 6$ 個の2次第一積分を有し、3体系の拡張となる。
• $m$-次元多様体では、$n$-点系を $bR^{m n}$ に埋め込み、全運動量保存則を課すことにより、$m(2n-2)$ 個の2次第一積分が得られる。
• 5番目の第一積分の一般形は、二項係数および $ an(2n+1) heta$ の微分を含み、組合せ的表現から導かれた明示的係数 $A_ ho^i$ を含む。