[論文レビュー] Superregular matrices over small finite fields

Paulo Almeida, Diego Napp|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、小さな有限素数体上の下三角テープリッツ超正則行列を調査し、非自明な最小の異なる小行列式の数を最小化する構成法を提案する。Mapleを用いた計算的探索とグリーディー・アルゴリズムにより、素数体上での順序10までにそのような行列を構成し、F_173 や F_257 などの体で γ = 8, 9, 10 に対して存在を示した。また、一般の γ についての体のサイズと小行列式の数の上限に関する予想を提示した。

ABSTRACT

A trivially zero minor of a matrix is a minor having all its terms in the Leibniz formula equal to zero. A matrix is superregular if all of its minors that are not trivially zero are nonzero. In the area of Coding Theory, superregular matrices over finite fields are connected with codes with optimum distance proprieties. When a superregular matrix has all its entries nonzero, it is called full superregular and these matrices are used to construct Maximum Distance Separable block codes. In the context of convolutional codes, lower triangular Toeplitz superregular matrices are employed to build convolutional codes with optimal column distance. Although full superregular matrices over small fields are known (e.g. Cauchy matrices), the few known general constructions of these matrices having a lower triangular Toeplitz structure require very large field sizes. In this work we investigate lower triangular Toeplitz superregular matrices over small finite prime fields. Following the work of Hutchinson, Smarandache and Trumpf, we study the minimum number of different nontrivial minors that such a matrix have, and exhibit concrete constructions of superregular matrices of this kind.

研究の動機と目的

• 小さな有限素数体上の下三角テープリッツ超正則行列の存在と構成を調査すること。
• このような行列が有する非自明な異なる小行列式の最小数を特定すること。
• 小さな素数体上での γ = 8 および γ = 9 に対する超正則行列の明示的構成を提供すること。
• 計算的探索とランダムサンプリングを用いて、γ = 10 に対するそのような行列の構築可能性を検討すること。
• 一般の γ についての体サイズ要件と小行列式多様性に関する予想を提示すること。

提案手法

• 係数ベクトル (a₁, a₂, ..., aγ−1) により定義される定数対角線を持つ下三角テープリッツ行列 Aγ を構築すること。
• 小さな有限体上で超正則行列を生成する係数ベクトルを探索するため、Mapleを用いたグリーディー・アルゴリズムを用いること。
• 直前の再帰的条件に基づき、各段階で aᵢ ∉ Sᵢ である制約を課すことにより、自明な小行列式を回避すること。
• γ = 8, 9, 10 に対して、小さな素数体 F_p 上で全探索またはランダム探索を実施し、有効な係数ベクトルを同定すること。
• 行列のすべての小行列式を計算し、すべての非自明な小行列式が非ゼロであることを確認することで、超正則性を検証すること。
• 異なる体サイズにおける非自明な小行列式の異なる数とその分布を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限素数体上での下三角テープリッツ超正則行列の順序 γ に対して、非自明な異なる小行列式の最小数は何か？
• RQ2 どの小さな素数体 F_p に対して、順序 γ = 10 の下三角テープリッツ超正則行列が存在するか？
• RQ3 順序 γ = 8 および γ = 9 の超正則行列を、小さな有限素数体上で明示的に構成できるか？
• RQ4 与えられた γ に対して、そのような超正則行列の存在を保証するのに十分な体サイズは何か？
• RQ5 γ と p の関数として、異なる小行列式の数に一般的なパターンや上限があるか？

主な発見

• 著者らは、有限素数体 F_173 および F_193 上で、順序 8 および 9 の下三角テープリッツ超正則行列を成功裏に構築した。
• γ = 10 の場合、F_173, F_193, F_199, F_227, F_229, F_239, F_251, F_257 で超正則行列を発見し、体サイズが大きいほど相対的な成功頻度が上昇した。
• F_257 上の γ = 10 行列では、可能な257個中256個の非自明な小行列式が異なるものとなり、ほぼ最大の多様性を示した。
• この研究により、F_p に対して p ≥ 173 ならば順序10の超正則行列が存在することが確認され、p が大きくなるほど成功確率が上昇することが示された。
• 著者らは、任意の γ ≥ 2 および奇素数 p に対して、ベクトル (a₁, ..., aγ−1) が存在し、異なる小行列式の数が Nγ/2 + 2 以下であると予想した。
• さらに、γ ≥ 2 に対して、任意の有限体 F に対して |F| ≥ 2^(2γ/3) ならば、下三角テープリッツ超正則行列が存在すると予想した。