[論文レビュー] Superrigidité géométrique et applications harmoniques

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非正曲率の空間—例えば対称空間やユークリッドのビルディング—における等長作用に関して、Margulis の超剛性定理を幾何的設定へと拡張する。具体的には、非可約格子の等長作用が、ある点を固定するか、非可約因子の積と同型な凸部分集合を保存するかのいずれかであることを示し、その作用は周囲の等長群へ拡張可能である。主な結果は、線形超剛性を CAT(0) 空間における幾何的作用へ一般化するものである。

ABSTRACT

These are expanded notes of a course given in Grenoble in june 2004. After a brief description of the harmonic map proof of Margulis' superrigidity and arithmeticity theorems, it is shown how the method might generalize to fundamental groups of simplicial complexes whose links have large enough nonlinear spectral gaps, with emphasis on random groups.

研究の動機と目的

• 非正曲率の距離空間における幾何的作用へ Margulis の線形超剛性定理を一般化すること。
• CAT(0) 空間における非可約格子の等長作用が、ある点を固定するか、非可約因子の積と同型な凸部分集合を保存するかのいずれかであることを確立すること。
• 対称空間およびユークリッドのビルディングの理論を通じて、超剛性の幾何的および代数的視点を統合すること。
• 実および複素双曲空間などのランク1設定における超剛性の限界を明確にすること。
• 等長群および距離幾何を用いた幾何的再定式化を通じて、線形表現を超えた超剛性を拡張すること。

提案手法

• Cartan の分類を介して半単純リー群と対称空間の間の双対性を用い、超剛性を幾何的言語に再定式化する。
• CAT(0) 距離条件を適用して非正曲率を特徴づけ、測地三角形がユークリッド空間より鋭くなることを保証する。
• 無消滅（reductive）作用の概念を用い、距離関数が無限遠で無限大に発散する性質により、自明または有界な作用を除外する。
• 非アルキメデス的局所体におけるユークリッドのビルディングの構造を用い、対称空間幾何を一般化する。
• 調和写像およびソボレフ空間の結果（例：Korevaar-Schoen 理論）を応用し、距離空間上の作用を分析する。
• 高ランク群における非可約格子が強い剛性性質を持つことを利用し、距離および曲率制約を通じて幾何的作用へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約格子の CAT(0) 空間における等長作用が、周囲の等長群へ拡張される幾何的条件は何か？
• RQ2 ランク1の対称空間およびビルディングにおける超剛性はどのように振る舞い、なぜ失敗するのか？
• RQ3 代数的超剛性が距離幾何および曲率条件を用いて再定式化され、拡張可能か？
• RQ4 対称空間およびビルディングの非コンパactかつ非正曲率の構造が剛性を強制するために果たす役割は何か？
• RQ5 格子の CAT(0) 空間への作用が、非可約成分に分解可能か、またいつ積構造を保存するか？

主な発見

• ランク ≥ 2 の高ランク半単純群における非可約格子は、CAT(0) 空間への作用において、ある点を固定するか、非可約因子の積と同型な凸部分集合を保存するかのいずれかである。
• その保存された部分集合上の作用は、元の空間の周囲の等長群へのホモオモルフィズムへ拡張可能である。
• 超剛性はランク1の対称空間（例：実または複素双曲空間）およびランク1のビルディングでは失敗する。これは、非算術的格子および自由群作用の存在に起因する。
• SO(n,1) の格子から SO(n+1,1) への非可約な、Zariski 稠密なホモオモルフィズムの構成により、その失敗が示されている。ここでは、結合積および非自明な中心化子が用いられている。
• 幾何的超剛性定理は、次元 > 4 のクaternion的双曲空間およびオクタニオン平面に対しても成り立つ。これは、元の実および複素の場合を超えて拡張される。
• 本論文は、超剛性現象が曲率およびランクに深く関係しており、高ランクおよび非正曲率が拡張定理の成立に不可欠であることを確認している。