[論文レビュー] Supersingular genus-two curves over fields of characteristic three

Everett W. Howe|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特徴が3の有限体上の上記の曲線から、j-不変量0の上記の楕円曲線への3次写像を分析することで、上記の曲線のWeil多項式を分類する。モジュライ空間の技法と明示的なモデルを用いて、$ y^2 = x^5 + 1 $ を除く、$ \mathbb{F}_3 $ の代数的閉包上のすべての上記の genus-2 曲線が、この楕円曲線へ正確に20個の非同型な3次写像を持つことを示し、$ q = 3^d $ であるすべての有限体 $ \mathbb{F}_q $ における発生するWeil多項式の完全な決定が得られる。

ABSTRACT

Let C be a supersingular genus-2 curve over an algebraically closed field of characteristic 3. We show that if C is not isomorphic to the curve y^2 = x^5 + 1 then up to isomorphism there are exactly 20 degree-3 maps phi from C to the elliptic curve E with j-invariant 0. We study the coarse moduli space of triples (C,E,phi), paying particular attention to questions of rationality. The results we obtain allow us to determine, for every finite field k of characteristic 3, the polynomials that occur as Weil polynomials of supersingular genus-2 curves over k.

研究の動機と目的

• 特徴が3の有限体上のアーベル曲面の同種類の中で、ヤコビアンを含むものの分類に欠けている部分を埋める、特に上記の同種類に対して。
• これまで $ d \leq 1 $ で不完全であった、$ \mathbb{F}_q $ に対して $ q = 3^d $ である上記の genus-2 曲線のWeil多項式の分類を完全化する。
• 特徴が3の上記の genus-2 曲線から、$ j = 0 $ を持つ上記の楕円曲線への3次写像を特徴づけるモジュライ理論的枠組みを確立する。
• このような写像のための粗いモジュライ空間の明示的方程式と有理型性の結果を提供し、発生するWeil多項式の分類を可能にする。
• 特徴が3の上記の同種類を解決し、特徴 $ > 3 $ を仮定していた先行研究を完成させる。

提案手法

• 論文は、$ C $ が上記の genus-2 曲線、$ E $ が $ j = 0 $ を持つ上記の楕円曲線、$ \varphi: C \to E $ が3次写像であるような三つ組 $ (C, E, \varphi) $ の粗いモジュライ空間 $ \mathcal{A} $ を構成する。
• 2-torsionの構造とWeilペアリングを用いて、$ \mathcal{A} $ と、$ C $ と $ (\operatorname{Jac} C)[2] $ の非同型な位数4部分群 $ G $ のペア $ (C, G) $ の粗いモジュライ空間 $ \mathcal{B} $ の間に同型を確立する。
• 明示的なモデルが $ \mathcal{A} $ と $ \mathcal{B} $ に対して与えられ、$ \mathcal{A} $ が1点を除いたアフィン直線と同型であり、$ \mathcal{A} \to \mathcal{S} $（上記の genus-2 曲線のモジュライ空間へ）の次数が20であることを示す。
• Igusa不変量 $ [J_2 : J_4 : J_6 : J_8 : J_{10}] $ を用いて、特徴が3の上記の genus-2 曲線を $ J_2 = J_4 = J_8 = 0 $ である条件で特徴づけ、$ \mathcal{S} \cong \mathbb{A}^1 $ であることを示す。
• Galois群の根への作用を分析することで有理型性の問題を扱い、特に関数 $ F(z) = \frac{(z^9 - z)^5}{(z^9 - z)^{36}} $ を用いて、有限体上での分解の性質を証明する。
• 特に $ z^r - z - c $ や $ (z^{r-1} + 1)^{(r+1)/2} - e z^{r(r-1)/2} $ といった多項式のトレースと分解に関する重要な補題を用いて、有理型性と解の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が3の有限体上の上記の genus-2 曲線に対して、どのようなWeil多項式が発生するか？
• RQ2 上記の曲線（$ y^2 = x^5 + 1 $ を除く）から、特徴が3のj-不変量0の上記の楕円曲線への非同型な3次写像は、いくつ存在するか？
• RQ3 このような3次写像の粗いモジュライ空間の構造は何か？ そして、上記の genus-2 曲線のモジュライ空間とはどのように関係するか？
• RQ4 有限体上での有理型性条件をどのように用いて、アーベル曲面の同種類の中でヤコビアンを含むものかどうかを特定できるか？
• RQ5 2- torsion部分群とWeilペアリングは、これらの写像と曲線の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• すべての有限体 $ \mathbb{F}_q $ に対して $ q = 3^d $ である場合、論文は上記の genus-2 曲線に対して発生するWeil多項式の完全なリストを提供し、$ d $ が奇数か偶数かに応じて異なる。
• $ d $ が奇数のとき、Weil多項式は以下の通りである：$ (x^2 + q)(x^2 - s x + q) $（$ s = \pm \sqrt{3q} $）、$ (x^2 + q)^2 $（$ q > 3 $ の場合）、$ x^4 + q^2 $、$ x^4 + q x^2 + q^2 $、および $ x^4 - 2q x^2 + q^2 $（$ q > 3 $ の場合）。
• $ d $ が偶数のとき、Weil多項式は以下の通りである：$ (x^2 - 2s x + q)(x^2 + s x + q) $（$ s = \pm \sqrt{q} $）、$ (x^2 - s x + q)^2 $（$ s = 0, \pm \sqrt{q} $）、$ (x^2 - 2s x + q)^2 $（$ s = \pm \sqrt{q} $ で $ q > 9 $ の場合）、$ x^4 + q^2 $、および $ x^4 - s x^3 + q x^2 - s q x + q^2 $（$ s = \pm \sqrt{q} $ の場合）。
• $ y^2 = x^5 + 1 $ を除き、$ \mathbb{F}_3 $ の代数的閉包上のすべての上記の genus-2 曲線は、$ j = 0 $ を持つ上記の楕円曲線へ正確に20個の非同型な3次写像を持つ。
• このような写像の粗いモジュライ空間 $ \mathcal{A} $ は $ \mathbb{A}^1 \setminus \{0\} $ と同型であり、自然な写像 $ \mathcal{A} \to \mathcal{S} $（上記の genus-2 曲線のモジュライ空間へ）の次数は20である。
• 特徴が3の上記の genus-2 曲線のモジュライ空間 $ \mathcal{S} $ はアフィン直線 $ \mathbb{A}^1 $ と同型であり、上記の性質はIgusa不変量において $ J_2 = J_4 = J_8 = 0 $ で特徴づけられる。