[論文レビュー] Supersymmetric field theories and geometric Langlands: The other side of the coin

Aswin Balasubramanian, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、表面演算子を含む一般化されたAGT対応のNekrasov-Shatashvili極限として幾何的ラングランズ対応を特定することにより、超対称ゲージ理論、共形場理論（CFT）、および幾何的ラングランズプログラムを統一的な枠組みで結びつける。この結果、得られる双対性は、Hitchinモジュライ空間を標的多様体とする2次元スイマーモデルを通じて実現され、非アーベルホッジ対応およびN=4 SYMのトポロジカルなねじれを介して、量子幾何的ラングランズ双対性の物理的実現がなされる。

ABSTRACT

This note announces results on the relations between the approach of Beilinson and Drinfeld to the geometric Langlands correspondence based on conformal field theory, the approach of Kapustin and Witten based on $N=4$ SYM, and the AGT-correspondence. The geometric Langlands correspondence is described as the Nekrasov-Shatashvili limit of a generalisation of the AGT-correspondence in the presence of surface operators. Following the approaches of Kapustin - Witten and Nekrasov - Witten we interpret some aspects of the resulting picture using an effective description in terms of two-dimensional sigma models having Hitchin's moduli spaces as target-manifold.

研究の動機と目的

• 幾何的ラングランズの文脈において、Beilinson-DrinfeldのCFT的アプローチ、Kapustin-WittenのN=4 SYMアプローチ、およびAGT対応を統一すること。
• アフィンKac-Moody代数の共形ブロックにおける退化表現を用いて、オペルを越えて一般の不可約局所系にまで拡張された幾何的ラングランズ対応を構築すること。
• Hitchinモジュライ空間を標的多様体とする有効な2次元スイマーモデルを通じて、得られた双対性枠組みを解釈すること。
• 表面演算子およびNekrasov-Shatashvili極限が量子幾何的ラングランズ双対性を実現する役割を明確にすること。
• 非アーベルホッジ対応および複素Fenchel-Nielsen座標を、ゲージ理論におけるラングランズ双対性の物理的実現と結びつけること。

提案手法

• 表面演算子を含む一般化されたAGT対応のNekrasov-Shatashvili極限を用いて、幾何的ラングランズ対応を導出する。
• 非アーベルホッジ（NAH）対応を用い、調和計量および正則なǫ接続を介して、Higgs束（E, ϕ）を平坦接続（∇ζ,R）に関連付ける。
• Wardの恒等式およびU(ˆg−h∨)の中心を用いて、ˆgの臨界レベルk = −h∨における共形ブロックとしてBunG上にD加群を構成する。
• Hitchinの可積分系を用い、モジュライ空間MH(G)をH0(C, K²)上のトーラスファイブレーションとして記述し、ハミルトニアンが基底座標をパラメータ化することを示す。
• 複素Fenchel-Nielsen座標（ar, κr）を用いて、キャラクター多様体MB(G)をパラメータ化し、自然なポアソン構造{ar, κs} = δrsを満たす。
• Σ×C上でN=4 SYMにトポロジカルなねじりを施し、Kapustin-Wittenのアプローチを実現し、ホロノミー表現を通じて平坦接続と局所系を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面演算子を含む一般化されたAGT対応のNekrasov-Shatashvili極限として、幾何的ラングランズ対応はどのようにして生じるか？
• RQ2 2次元スイマーモデルによる双対性の実現において、Hitchinモジュライ空間が標的多様体として果たす役割は何か？
• RQ3 Beilinson-Drinfeldの共形ブロック構成において、オペルを超える一般の不可約LG局所系はどのように実現されるか？
• RQ4 幾何的ラングランズの文脈において、非アーベルホッジ対応はHiggs束と平坦接続の間でどのように媒介されるか？
• RQ5 複素Fenchel-Nielsen座標およびNAH対応は、どのようにして量子幾何的ラングランズ双対性のパターンを実現するか？

主な発見

• 一般の不可約LG局所系に対する幾何的ラングランズ対応は、退化表現を特異点に挿入したˆg−h∨の共形ブロックとして実現され、オペルに基づく構成が拡張される。
• 一般化されたAGT対応のNekrasov-Shatashvili極限により、オペルでない局所系を含む完全な幾何的ラングランズ対応が得られる。
• Higgs束のモジュライ空間MH(G)は、有効な2次元スイマーモデルの標的空間として機能し、双対性を実現する。Hitchinのハミルトニアンが自然な座標を提供する。
• 非アーベルホッジ対応により、Higgs対（E, ϕ）は平坦接続∇ζ,Rに写像され、正則極限としてのǫ接続∇′ǫ = ǫ∂E,h + ϕが現れる。
• 複素Fenchel-Nielsen座標（ar, κr）はキャラクター多様体MB(G)上のダーブォー座標を提供し、{ar, κs} = δrsを満たす。これらはMH(G)のシンプレクティック構造と関連する。
• NAH対応によるMH(LG)の点(u, 0)の像は、実ホロノミーを持つ接続から成り、オペルの軌道と離散的に交わる。これは双対性のパターンを支持する。