[論文レビュー] Supersymmetric Hyperbolic $σ$-models and Decay of Correlations in Two Dimensions

Nick Crawford|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Zirnbauerの$\mathbb{H}^{2|2}$モデルを一般化した、超対称な双曲的$\sigma$-モデルの族を$\mathbb{H}^{2|2N}$上に導入する。このモデルの分配関数が結合定数に関して次数$n=N-1$の多変数多項式であることを証明し、$t$-場の相関関数の減衰および揺らぎに対する厳密な境界を導出可能にする。主な結果として、2次元において質量なし自由場と同等またはそれ以上の相関関数の多項式的減衰が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study a family of nonlinear $σ$-models in which the target space is the super manifold $H^{2|2N}$. These models generalize Zirnbauer's $H^{2|2}$ nonlinear $σ$-model which has a number of special features for which we find analogs in the general case. For example, by supersymmetric localization, the partition function of the $H^{2|2}$ model is a constants independent of the coupling constants. Here we show that for the $H^{2|2N}$ model, the partition function is a multivariate polynomial of degree $N-1$, increasing in each variable. We use these facts to provide estimates on the Fourier and Laplace transforms of the '$t$-field' when these models are specialized to $\mathbb{Z}^2$. From the bounds, we conclude the $t$-field exhibits polynomial decay of correlations and has fluctuations which are at least those of a massless free field.

研究の動機と目的

• Zirnbauerの$\mathbb{H}^{2|2}$ $\sigma$-モデルを$\mathbb{H}^{2|2N}$に一般化し、その統計力学的性質を研究すること。
• 2次元格子における$t$-場の相関関数の漸近的挙動を分析すること。
• 特に$\varepsilon \to 0$極限において、$t$-場の揺らぎに関する厳密な下界および上界を確立すること。
• $t$-場が多項式的相関減衰および少なくとも質量なし自由場と同等の揺らぎを示すことを示すこと。

提案手法

• モデルは、$D^{\varepsilon}_{\Lambda}(t)$を重み付きグラフラプラシアン（導電率$J_{jj'}e^{t_j + t_{j'}}$およびキリングレート$\varepsilon_j e^{t_j}$を伴う）とするガウス測度$[\det D^{\varepsilon}_{\Lambda}(t)]^a$により定義される。
• 超対称局在化技術を用いて、分配関数が結合定数に関して次数$n = N-1$の多変数多項式であることを示し、各変数に関して単調増加であることを証明する。
• モデルは$\mathbb{Z}^2$上に定義され、1つのピンニング点（$\varepsilon_0 = 1$、$\varepsilon_j = 0$ for $j \neq 0$）を持つ。これにより長距離挙動の解析が可能になる。
• 分配関数の多項式構造と超対称性を用いて、$t$-場のフーリエ変換およびラプラス変換の境界を導出する。
• $\mathfrak{sp}(2N)$および$\mathcal{N}=N$超対称変換を用いて、作用および測度が$Q^\ell_\pm$生成子に関して不変であることを示す。
• $Q^\ell_\pm$生成子に関して作用および測度が不変であるため、$Q^\ell_\pm$-正確な項は積分により消える。これにより分配関数の多項式構造が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{H}^{2|2N}$ $\sigma$-モデルにおける$t$-場は2次元で相関関数の多項式的減衰を示すか？
• RQ2 $\mathbb{H}^{2|2N}$モデルの分配関数が結合定数に関して多変数多項式であることを示せるか？
• RQ3 特に$k$および$\ell$がピンニング点から遠く離れている場合の、$t$-場の揺らぎに関する下界は何か？
• RQ4 $\det D^{\varepsilon}_{\Lambda}(t)$項は、$a=0$の場合と比較して相関構造をどのように変更するか？
• RQ5 $t$-場の揺らぎは、質量なし自由場とどの程度類似しているか、あるいはそれを上回るか？

主な発見

• $\mathbb{H}^{2|2N}$ $\sigma$-モデルの分配関数は、結合定数に関して次数$n = N-1$の多変数多項式であり、各変数に関して単調増加である。これはZirnbauerの$\mathbb{H}^{2|2}$結果の一般化である。
• $t$-場は多項式的相関減衰を示し、相関関数$\langle e^{z[t_k - t_\ell]} \rangle$は$|k - \ell|^{-\alpha}$（$\alpha > 0$）のオーダーで減衰する。
• $t$-場の揺らぎは、質量なし自由場と同等以上であり、非自明な長距離相関を示す。
• 分配関数の多項式構造と超対称性を用いて、$t$-場のフーリエ変換およびラプラス変換の境界が導出され、長距離挙動の制御が可能になる。
• $\varepsilon \to 0$極限における正規化されたギブス測度は存在し、well-definedである。$\varepsilon_j = 0$の場合は正規化不可能であるが、極限は依然として定義可能である。
• 超対称性により、作用および測度が$Q^\ell_\pm$変換に関して不変であり、$Q^\ell_\pm$-正確な項は積分により消える。これにより分配関数の多項式構造が裏付けられる。