[論文レビュー] Supersymmetric quantum mechanics based on higher excited states II: a few examples of isospectral partner potentials

Marko Robnik, Junxian Liu|ArXiv.org|Mar 14, 1997

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基底状態を超える高エネルギー状態を用いて等スペクトルなペアポテンシャルを構築することで、超対称量子力学を拡張している。この形式的枠組みにより、無限個の新しい可解ポテンシャルの族が生成されることを示している。この手法は、1次元系の代表例—調和振動子、ケプラー問題、モース、ポスクル＝テラー、無限井戸—に適用され、井戸型ポテンシャルを除くすべての系が新たな可解ポテンシャルを生み出すのに対し、井戸型ポテンシャルのペアは特別なポシュル＝テラー型ポテンシャルであることが示された。

ABSTRACT

We apply the generalized formalism and the techniques of the supersymmetric (susy) quantum mechanics to the cases where the superpotential is generated/defined by higher excited eigenstates (Robnik 1997, paper I). The generalization is technically almost straightforward but physically quite nontrivial since it yields an infinity of new classes of susy-partner potentials, whose spectra are exactly identical except for the lowest $n+1$ states, if the superpotential is defined in terms of the $(n+1)$-st eigenfunction, with $n=0$ reserved for the ground state. First we show that there are practically no possibilities for shape invariant potentials based on higher excited states. Then we calculate the isospectral partner potentials for the following 1-dim potentials (after separation of variables where appropriate): (i) 3-dim (spherically symmetric) harmonic oscillator, (ii) 3-dim (isotropic) Kepler problem, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) the 1-dim box potential. In all cases except in (v) we get new classes of solvable potentials. In (v) the partner potential to the box potential is a special case of Pöschl-Teller type I potential. potentials. In this paper we present results of a straightforward further application of this formalism to a few most important exactly solvable 1-dim potentials, namely (i) spherically symmetric 3-dim harmonic oscillator, (ii) 3-dim isotropic (spherically symmetric) Kepler potential, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) 1-dim box potential. PACS numbers: 03.65.-w, 03.65.Ge, 03.65.Sq

研究の動機と目的

• 基底状態を超える高エネルギー状態への超対称量子力学の一般化を図ること。
• 高エネルギー状態から形状不変ポテンシャルを構成できるかどうかを調査すること。
• 基本的な正確に可解な1次元量子系に対する等スペクトルペアポテンシャルを体系的に導出すること。
• この一般化形式的枠組みから生じる新しい可解ポテンシャルのクラスを特定すること。
• この枠組みを通じて、無限井戸とポシュル＝テラー型Iポテンシャルの関係を明確にすること。

提案手法

• n ≥ 1 に対して、(n+1)番目の励起状態の波動関数から超ポテンシャルを定義すること。
• 標準的な超対称量子力学の形式的枠組みを用いて、超ポテンシャルからペアハミルトニアン H± を構築すること。
• 関係式 V+(x) = W²(x) - W'(x) を用いて、超ポテンシャル W(x) からペアポテンシャル V+(x) を導出すること。
• 3次元球対称系に対しては、極座標の変数分離を実行した後、この形式的枠組みを適用すること。
• 最低 n+1 個のエネルギー準位を除き、同一のスペクトルを示すことで、等スペクトル性を確認すること。
• 得られたペアポテンシャルの可解性および構造的性質を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高エネルギー状態に基づく超対称量子力学は、新たなクラスの等スペクトルポテンシャルを生成できるか？
• RQ2 励起状態を用いたこの形式的枠組みから、形状不変ポテンシャルが出現するか？
• RQ3 この拡張形式的枠組み下で、3次元調和振動子およびケプラー問題の等スペクトルペアポテンシャルは何か？
• RQ4 この超対称的構成において、無限井戸はどのように変換されるか？
• RQ5 この枠組みにおいて、ポシュル＝テラー型Iポテンシャルは無限井戸のペアとして導出可能か？

主な発見

• 超ポテンシャルが高エネルギー状態から定義されると、この形式的枠組みにより無限個の新しい等スペクトルペアポテンシャルが成功裏に生成される。
• 高エネルギー状態から構築されたクラスでは形状不変ポテンシャルは得られなかったため、このアプローチが形状不変性を保つような対称性に対して根本的な制限を有することが示唆された。
• 3次元等方的調和振動子に対しては、新たな可解ペアポテンシャルのクラスが得られた。
• 3次元ケプラー問題の等スペクトルペアは、元のポテンシャルとは異なる新たな可解ポテンシャルであった。
• モースポテンシャルおよびポシュル＝テラー型Iポテンシャルは、いずれもこの構成によって新たな可解等スペクトルペアを生成した。
• 無限井戸の等スペクトルペアは、特別なポシュル＝テラー型Iポテンシャルとして特定され、既知の結果ではあるが、以前に比べてより体系的に導出されたことが確認された。