[論文レビュー] Supersymmetric quantum theory, non-commutative geometry, and gravitation. Lecture Notes Les Houches 1995

Juerg Froehlich, Olivier Grandjean+1 more|ArXiv.org|Jun 18, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 91被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、微分位相幾何学および微分幾何学を非可換空間へと拡張することで、超対称量子理論、非可換幾何学、および重力の統一フレームワークを開発する。非可換トーラスやM(atrix)モデルといったツールを用い、非可換幾何学が量子重力および弦理論の幾何的言語を提供することを示し、プランクスケールにおける時空の構造について新たな知見をもたらす。

ABSTRACT

This is an expanded version of the notes to a course taught by the first author at the 1995 Les Houches Summer School. Constraints on a tentative reconciliation of quantum theory and general relativity are reviewed. It is explained what supersymmetric quantum theory teaches us about differential topology and geometry. Non-commutative differential topology and geometry are developed in some detail. As an example, the non-commutative torus is studied. An introduction to string theory and $M$(atrix) models is provided, and it is outlined how tools of non-commutative geometry can be used to explore the geometry of string theory and conformal field theory.

研究の動機と目的

• 超対称量子理論および非可換幾何学の観点から、量子理論と一般相対性理論を統合すること。
• 量子重力に適用可能な非可換微分位相幾何学および非可換微分幾何学のフレームワークを構築すること。
• 非可換ツールを用いて、弦理論および conformal field theory の幾何的構造を調査すること。
• M(atrix)モデルおよび非可換トーラスが、量子時空幾何学をモデル化する幾何的枠組みをどのように提供するかを検討すること。
• 超対称性、非可換幾何学、重力理論の間の概念的および数学的ブリッジを提供すること。

提案手法

• 多様体の位相的および幾何的不変量を抽出するために、超対称量子理論を適応する。
• 古典的微分幾何学を非可換代数へ一般化する、非可換微分幾何学の形式的体系を構築する。
• 非可換トーラスを、弦のコンactificationへの応用を含む、非可換幾何学のプロトタイプ例として分析する。
• M(atrix)モデルを弦理論の非摂動的定式化として導入し、非可換幾何学と結びつける。
• 非可換幾何学の道具を用いて、 conformal field theory および弦の背景の幾何学を研究する。
• K理論および循環コホモロジーを用いて、非可換空間における位相的不変量を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称量子理論は、時空の微分位相幾何学および微分幾何学にどのように寄与するか？
• RQ2 非可換幾何学は、量子時空構造を記述するために果たす役割は何か？
• RQ3 M(atrix)モデルおよび非可換トーラスは、どのように弦理論の幾何的枠組みを提供するか？
• RQ4 非可換微分幾何学は、量子場理論と一般相対性理論をどのように統一するか？
• RQ5 量子重力に関連する非可換空間の位相的および幾何的不変量は何か？

主な発見

• 非可換幾何学は、非可換トーラスが主要な例として機能するように、量子時空を記述する自然な枠組みを提供する。
• 超対称量子理論は、インデックス定理や位相的不変量を含む、多様体の微分位相幾何学に関する深い洞察をもたらす。
• 非可換幾何学とM(atrix)モデルの相互作用は、弦理論の背後にある新しい幾何的構造を明らかにする。
• 循環コホモロジーおよびK理論は、量子重力に関連する非可換空間を分類するための必須の道具となる。
• 形式的体系は、古典的幾何的概念を非可換代数へと自然に一般化でき、量子重力に対する新しい手法を可能にする。
• このフレームワークは、プランクスケールにおける時空が本質的に非可換である可能性を示唆し、統一に深い意味を持つ。