[論文レビュー] Supersymmetric solution of PT-/non-PT-symmetric and non-Hermitian Morse potential is studied to get real and Supersymmetric Solution of PT-/Non-PT-Symmetric and Non-Hermitian Morse Potential via Hamiltonian Hierarchy Method

Metin Aktaş, R. Sever|CERN Bulletin|Apr 27, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、超対称量子力学（SUSYQM）におけるハミルトニアン階層法を用いて、q変形モースポテンシャルのPT対称的でない、非PT対称的でない、および非ヒルベルト型の1次元シュレーディンガー方程式を解析的に解く。実数および複素数のエネルギー固有値とそれに対応する波動関数が導出され、パrameterの選択に応じて実数スペクトルと複素数スペクトルの両方が出現することが示され、非折りたたみPT対称性を持つ場合、実数スペクトルが保存されることが明らかになった。

ABSTRACT

Supersymmetric solution of PT-/non-PT-symmetric and non-Hermitian Morse potential is studied to get real and complex-valued energy eigenvalues and corresponding wave functions. Hamiltonian Hierarchy method is used in the calculations

研究の動機と目的

• q変形モースポテンシャルの非ヒルベルト型およびPT対称型の一般化を、超対称量子力学（SUSYQM）に拡張すること。
• このような複素数ポテンシャルが実数または複素数のエネルギー固有値をもたらす条件を調査すること。
• ハミルトニアン階層法を用いて、逐次的に超対称パートナーポテンシャルおよびそれに対応するエネルギースペクトルを生成すること。
• 非ヒルベルト系において実数エネルギースペクトルを保存するPT対称性の役割を特定すること。
• 実部および虚部のエネルギー固有値が調和振動子および非調和振動子の挙動とどのように関係するか、その物理的意味を検討すること。

提案手法

• シュレーディンガーのハミルトニアンを、スーパーポテンシャルを用いて一階微分作用素に因数分解するハミルトニアン階層法が用いられる。
• スーパーポテンシャル $ W(x) $ は、基底状態波動関数 $ \Psi_0^{(0)}(x) $ の対数微分から構成され、これによりパートナーポテンシャルが逐次的に生成される。
• 反復的に解くリッカティ方程式 $ W_n^2 \pm W_n' = \frac{2m}{\hbar^2}(V_n - E_n^{(0)}) $ を用いて、高次のパートナーポテンシャルおよびエネルギー準位が導出される。
• 本手法は3つの場合に適用される：実数（標準的）モースポテンシャル、虚数部 $ V_2 $ を持つ非PT対称な複素モースポテンシャル、複素数 $ V_1 $ および $ V_2 $ を持つPT対称な複素モースポテンシャル。
• エネルギー固有値は $ E_{n+1}^{(\ell=0)} = -q^2\left[\mu - \frac{a}{q}(n+\frac{1}{2})\right]^2 $ として導出され、複素パラメータの場合に修正される。
• 波動関数は $ \Psi_0(x) = N \exp\left(-\widetilde{\mu}e^{-ax} + q[\mu - \frac{a}{q}(n+\frac{1}{2})]x\right) $ を用いて得られ、複素数の場合に適応される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数パラメータを有する非ヒルベルト型モースポテンシャルが、どのような条件下で実数エネルギー固有値をもたらすか？
• RQ2 ハミルトニアン階層法は、PT対称的および非PT対称的な非ヒルベルト型ポテンシャルに対して、どのように正確解を可能にするか？
• RQ3 エネルギー固有値の実部および虚部と調和振動子・非調和振動子スペクトルとの関係は何か？
• RQ4 非折りたたみPT対称性は、q変形モースポテンシャルにおいて、常に実数エネルギースペクトルを保証するか？
• RQ5 実数パラメータと複素数パラメータの両領域におけるスーパーポテンシャルおよびパートナーポテンシャルの構造は、どのように異なるか？

主な発見

• 非PT対称な複素モースポテンシャル $ V_2 = 2iqD $ の場合、エネルギー固有値は複素数である：$ E_{n+1}^{(\ell=0)} = -q^2\left[i\mu - \frac{a}{q}(n+\frac{1}{2})\right]^2 $、これはPT対称性の自発的破れを示している。
• PT対称な場合、$ V_1 = (\alpha + i\beta)^2 $ において、$ \beta = 0 $ のときのみ実数スペクトルが出現するが、$ \alpha = 0 $ の場合には複素数スペクトルが得られ、PT対称性がすべての状況で自発的破れを示さないことが示された。
• PT対称な場合のエネルギー固有値は $ E_{n+1}^{(\ell=0)} = -q^2\left[i\xi - \frac{a}{q}(n+\frac{1}{2})\right]^2 $ であり、$ \xi = \alpha + i\beta $ である。スペクトルが実数のままであるのは $ \beta = 0 $ のときのみである。
• すべてのケースにおける基底状態波動関数は閉形式で導出され、$ \Psi_0(x) = N \exp\left(-\widetilde{\xi}e^{-iax} + iq\left[i\xi - \frac{a}{q}(n+\frac{1}{2})\right]x\right) $ であり、PT不変性条件を満たしている。
• エネルギー固有値の実部および虚部は、それぞれ調和振動子および非調和振動子の挙動に対応しており、エネルギー式の構造から確認された。
• PT対称的および非PT対称的な非ヒルベルト型解の両方が、同一のエネルギースペクトルを示すため、SUSYQMフレームワーク内では、それらのスペクトル的性質に深い等価性が存在することが示唆された。