[論文レビュー] Supersymmetric Spacetimes from Curved Superspace

Sergei M. Kuzenko|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非可換超重力における剛体超対称時空を構成するための超空間形式を提示する。曲がった超空間背景を用いて、未破れの超対称性を幾何学的に実現する。超空間内に閉じた有限次元のリー超代数を形成するキリングベクトル場の存在を要請することにより、この手法は体系的に超対称解を生成し、最大超対称時空が共形平坦であることを示し、超ウェイリーや超コットンテンソルが消えることを示す。

ABSTRACT

We review the superspace technique to determine supersymmetric spacetimes in the framework of off-shell formulations for supergravity in diverse dimensions using the case of 3D N=2 supergravity theories as an illustrative example. This geometric formalism has several advantages over other approaches advocated in the last four years. Firstly, the infinitesimal isometry transformations of a given curved superspace form, by construction, a finite-dimensional Lie superalgebra, with its odd part corresponding to the rigid supersymmetry transformations. Secondly, the generalised Killing spinor equation, which must be obeyed by the supersymmetry parameters, is a consequence of the more fundamental superfield Killing equation. Thirdly, general rigid supersymmetric theories on a curved spacetime are readily constructed in superspace by making use of the known off-shell supergravity-matter couplings and restricting them to the background chosen. It is the superspace techniques which make it possible to generate arbitrary off-shell supergravity-matter couplings. Fourthly, all maximally supersymmetric Lorentzian spaces correspond to those off-shell supergravity backgrounds for which the Grassmann-odd components of the superspace torsion and curvature tensors vanish, while the Grassmann-even components of these tensors are annihilated by the spinor derivatives.

研究の動機と目的

• 多様な次元における非可換超重力に基づき、剛体超対称時空を決定する幾何的枠組みを構築すること。
• 超対称背景が、非自明な等長性を有する有限次元超代数を形成する曲がった超空間に対応することを示すこと。
• グラスマン奇数のねじれおよび曲率成分の消滅と超対称性の最大性との直接的な関係を確立すること。
• 一般の剛体超対称ゲージ理論が、非可換超重力・物質結合の制限によって曲がった時空上に構成可能であることを示すこと。
• 超ウェイリーテンソルまたは超コットンテンソルの消滅を通じて、最大超対称時空における共形平坦性の幾何的起源を明確にすること。

提案手法

• 非可換超空間形式を用いて、特定のタイプのキリングベクトル場（3.35）を許容する曲がった超空間として超対称背景を定義する。
• 一般化されたキリングスピンォル方程式が導かれる基本的条件として、超場のキリング方程式を課す。
• 最大超対称性の基準として、グラスマン奇数成分のねじれおよび曲率テンソルの消滅を分析する。
• 最大超対称背景において、グラスマン偶数成分のねじれおよび曲率を消滅させるためにスピンォル微分作用素を適用する。
• 既知の非可換超重力・物質結合を特定の曲がった超空間背景に制限することで、剛体超対称ゲージ理論を構築する。
• 重力のウェイリーゲージ不変形式を用いて、幾何的に整合性のある方法で等長性および共形等長性を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換超重力における超空間幾何学を用いて、剛体超対称時空を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 超場キリング方程式が超対称代数を生成するにあたり果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 3次元 ${\cal N}=2$, ${\cal N}=3$ および4次元 ${\cal N}=1$ 超重力理論における最大超対称時空が共形平坦を示す理由は何か？
• RQ4 超空間形式は、恣意的な仮定なしに剛体超対称代数の閉じる性質をどのように保証するか？
• RQ5 最大超対称背景において、ウェイリーテンソルの消滅を引き起こす超コットンテンソルおよび超ウェイリーテンソルの条件は何か？

主な発見

• 最大超対称ローレンツ時空は、グラスマン奇数成分のねじれおよび曲率が消える非可換超重力背景に対応する。
• 最大超対称背景において、グラスマン偶数成分のねじれおよび曲率はスピンォル微分作用素によって消滅する。
• 4次元 ${\cal N}=1$ 超重力では、超ウェイリーテンソルが消えるため、最大超対称時空が共形平坦であることが示される。
• 3次元 ${\cal N}=2$ 超重力では、最大超対称解に対して超コットンテンソル $W_{\alpha\beta\gamma}$ が消えるため、共形平坦性が成立する。
• 3次元 ${\cal N}=3$ 超重力では、最大超対称背景においてスピンォル超場 $W_{\alpha}$ が消えるため、再び共形平坦性が成立する。
• この形式は、任意の非可換超重力・物質結合を生成可能であり、背景制限により曲がった時空上での剛体超対称ゲージ理論の構築を可能にする。