[論文レビュー] Supersymmetric Wilson Loops, Instantons, and Deformed W-algebras

Nathan Haouzi|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、超対称ウィルソン線積分とインスタントン計算を通じて、5次元 $χ$-型クオワーブゲージ理論と変形された $\mathfrak{g}$-型トーダ理論の双対性を確立する。ゲージ/ベロシティ双対性と、解消された $ADE$ 奇性上の type IIB compactification を用いて、5次元の分配関数が、ストレステンソルと高スピン演算子を含む $q$-変形トーダ理論におけるチャーラル相関関数に等しいことを示す。一方、1次元 ADHM 量子力学のウィットン指数は、$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ の有限次元的不可約表現の $qq$-特性に実現される。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra. We study half-BPS Wilson loops of supersymmetric 5d $\mathfrak{g}$-type quiver gauge theories on a circle, in a non-trivial instanton background. The Wilson loops are codimension 4 defects of the gauge theory, and their interaction with self-dual instantons is captured by a 1d ADHM quantum mechanics. We compute the partition function as its Witten index. This index is a $qq$-character of a finite-dimensional irreducible representation of the quantum affine algebra $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$. Using gauge/vortex duality, we can understand the 5d physics in 3d gauge theory terms. Namely, we study the vortices on the Higgs branch of the 5d theory, and reinterpret its partition function from the point of view of the vortices. This vortex perspective has an advantage: it has yet another dual description in terms of $q$-deformed $\mathfrak{g}$-type Toda Theory on a cylinder, in free field formalism. We show that the gauge theory partition function is equal to a (chiral) correlator of the deformed Toda Theory, with stress tensor and higher spin operator insertions. We derive all the above results from type IIB string theory, compactified on a resolved $ADE$ singularity $X$ times a cylinder with punctures, with various branes wrapping the blown-up 2-cycles.

研究の動機と目的

• 5次元 $χ$-型クオワーブゲージ理論における半ボース・ウィルソン線積分が、インスタントン背景を持つ円上に果たす役割を理解すること。
• インスタントン-ベロシティ相互作用を記述する1次元 ADHM 量子力学のウィットン指数を用いて、これらの理論の分配関数を計算すること。
• ゲージ/ベロシティ双対性を用いて、5次元ゲージ理論と $q$-変形 $χ$-型トーダ理論の間の双対性を、シリンダー上に確立すること。
• 得られた分配関数を、演算子の挿入を伴う、変形トーダ理論の自由場形式におけるチャーラル相関関数として解釈すること。
• 解消された $ADE$ 奇性上のタイプ IIB ストリング compactification を用いて、5次元ゲージ理論と変形トーダ理論の完全な双対性を導出すること。

提案手法

• 解消された $ADE$ 奇性 $X$ と穴あきシリンダーの積上にタイプ IIB ストリング理論を compactify する。ブレインは解消の2次元サイクルをラップする。
• 半ボース・ウィルソン線積分をcodimension 4の特異点として持つ、5次元 $χ$-型クオワーブゲージ理論を、compactification の背景として実現する。
• ウィルソン線積分と自己双対インスタントンの相互作用を、1次元 ADHM 量子力学でモデル化し、そのウィットン指数を分配関数として計算する。
• ウィットン指数を、量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ の有限次元的不可約表現の $qq$-特性として同定する。
• ゲージ/ベロシティ双対性を適用して、5次元分配関数を理論のヒッグス枝におけるベロシティの分配関数として再解釈する。
• ベロシティ分配関数を、ストレステンソルと高スピン演算子の挿入を伴う、シリンダー上の $q$-変形 $χ$-型トーダ理論におけるチャーラル相関関数にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元 $χ$-型クオワーブゲージ理論における半ボース・ウィルソン線積分は、非自明な背景における自己双対インスタントンとどのように結合するか？
• RQ2 1次元 ADHM 量子力学のウィットン指数によって計算された分配関数の正確な数学的構造は何か？
• RQ3 5次元におけるゲージ/ベロシティ双対性は、ベロシティ記述における $q$-変形トーダ理論の出現とどのように関係するか？
• RQ4 $qq$-特性は、ゲージ理論の分配関数と $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ の表現を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 穴あきを伴う解消された $ADE$ 奇性上のタイプ IIB compactification は、5次元ゲージ理論と変形トーダ理論の完全な双対性をどのようにエンコードするか？

主な発見

• インスタントンを持つ円上の5次元 $χ$-型クオワーブゲージ理論の分配関数は、1次元 ADHM 量子力学のウィットン指数として計算される。
• このウィットン指数は、量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ の有限次元的不可約表現の $qq$-特性として同定される。
• ゲージ/ベロシティ双対性を経由して、5次元分配関数は理論のヒッグス枝におけるベロシティ分配関数として再解釈される。
• ベロシティ分配関数は、ストレステンソルと高スピン演算子の挿入を伴う、シリンダー上の $q$-変形 $χ$-型トーダ理論におけるチャーラル相関関数に等しいことが示された。
• 完全な双対性は、解消された $ADE$ 奇性と穴あきシリンダーの積上のタイプ IIB ストリング理論の compactification から導出される。ブレインは例外的2次元サイクルをラップする。
• この対応関係により、ストリング理論における幾何的エンジニアリングを通じて、5次元/2次元/1次元/0次元の双対性チェーンの明確な実現が得られる。