[論文レビュー] Supersymmetry, a Biased Review

Ulf Lindström|ArXiv.org|Apr 2, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、超対称性の物理学的導入を提供し、超空間と超場を通じた幾何的構造に焦点を当て、N=1およびN=2超対称非線形σ模型と複素幾何の深い関係を確立する。ハイパーカイラーな標的空間における三重ホロモーフィック等長変換のゲージ化手続きが、ハイパーカイラー商構成をもたらし、モーメント写像の制約から得られるケーラー位相から、カルビーメトリクスのような新しい標的空間幾何を生じることを示している。

ABSTRACT

This set of lectures contain a brief review of some basic supersymmetry and its representations, with emphasis on superspace and superfields. Starting from the Poincaré group, the supersymmetric extensions allowed by the Coleman-Mandula theorem and its generalisation to superalgebras, the Haag, Lopuszanski and Sohnius theorem, are discussed. Minkowski space is introduced as a quotient space and Superspace is presented as a direct generalization of this. The focus is then shifted from a general presentation to the relation between supersymmetry and complex geometry as manifested in the possible target space geometries for N=1 and N=2 supersymmetric nonlinear sigma models in four dimensions. Gauging of isometries in nonlinear sigma models is discussed for these cases, and the quotient construction is described.

研究の動機と目的

• 超対称性とその表現、特に4次元における物理学的で自己完結的な導入を提示すること。
• 超時空をミンコフスキー空間の一般化として導入することにより、超対称性の幾何的構造を明確にすること。
• 超対称性と複素幾何の関係を、N=1およびN=2超対称非線形σ模型の文脈で確立すること。
• N=1およびN=2非線形σ模型における等長変換のゲージ化と、ハイパーカイラー商構成によるその実現を記述すること。
• モーメント写像の制約とファイエット＝イリオプスキー項から、商の標的空間における有効ケーラー位相を導出すること。

提案手法

• ポincare代数およびColeman-Mandula–Haag–Lopuszanski–Sohniusの定理を用いて、超対称性代数の存在を動機づける。
• 超時空をポincare群の商として導入し、超ポincare代数の表現として超場を構成する。
• Kählerおよびハイパーカイラーな標的空間を持つN=1およびN=2非線形σ模型を、超場形式を用いて分析する。
• Fayet-Iliopoulos項およびモーメント写像の制約を用いて等長変換のゲージ化を実装し、ハイパーカイラー商構成に至る。
• ベクトルおよびキラル超場に関して作用の極小化を用いて、商空間上の有効ケーラー位相を導出する。
• ゲージ固定および再定義を用いてモーメント写像の制約を解き、得られたラグランジアンを商幾何の言語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称性はポincare代数をどのように拡張し、時空および場の構造にどのような影響を及えるか？
• RQ2 超時空および超場は、4次元における超対称場理論の定式化において果たす役割は何か？
• RQ3 N=1およびN=2非線形σ模型は、それぞれその標的空間において複素幾何およびハイパーカイラー幾何とどのように関係するか？
• RQ4 超対称非線形σ模型における等長変換のゲージ化が可能となる条件は何か？そしてそれはどのように商構成に至るか？
• RQ5 ハイパーカイラー商の標的空間におけるケーラー位相の明示的形は何か？また、CP^nモデルのような既知のモデルをどのように一般化するか？

主な発見

• N=2非線形σ模型におけるハイパーカイラー商構成は、モーメント写像の制約に依存する新しいケーラー位相を生じ、具体的には √(c² + 4M₊M₋) − c ln(c + √(c² + 4M₊M₋)) + c ln M₊ として表される。
• 得られる標的空間幾何はハイパーカイラー的であり、既知のCP^nモデルのケーラー位相を一般化したカルビーメトリクスを拡張する。
• N=2モデルにおけるアーベル的三重ホロモーフィック等長変換のゲージ化は、Fayet-Iliopoulos項を含む一貫した作用を生じ、局所的超対称性およびゲージ対称性の下で不変である。
• モーメント写像の制約 Φₐ₋Φₐ₊ = b および V方程式 ∂V(…)=c は、ゲージ固定 Φₙ₊₁₊ = Φₙ₊₁₋ = φ を用いて解かれ、系は次元が低い有効理論に還元される。
• 最終的なラグランジアン密度は、M₊およびM₋の不変量のみで記述され、ベクトルおよびキラル超場に関して作用の極小化から導出されたケーラー位相を含む。
• この構成は、ハイパーカイラー商が、豊かな幾何的構造を持つ新しい超対称非線形σ模型を生成する物理的メカニズムとして明示的に実現されている。