[論文レビュー] Supersymmetry in Quantum Theory Over a Galois Field

Felix M. Lev|ArXiv.org|Sep 26, 2002

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガロア体上の量子理論（GFQT）に特有の新しい粒子-反粒子対称性であるAB対称性が、特に osp(1,4)スーパー代数の文脈において、超対称性と両立可能であることを示している。有限体上のモジュラー完全不可約表現を構成し、演算子変換を分析することで、AB対称性が標準量子場理論におけるボソンのパリティが実数であり、フェルミオンのパリティが虚数であるという結果を自然に説明することを示しており、量子理論がガロア体に基づくならば、AB対称性が自然界の根本的性質である可能性を強く示唆している。

ABSTRACT

As shown in our previous papers (hep-th/0209001 and reference therein), quantum theory based on a Galois field (GFQT) possesses a new symmetry between particles and antiparticles, which has no analog in the standard approach. In the present paper it is shown that this symmetry (called the AB one) is also compatible with supersymmetry. We believe this is a strong argument in favor of our assumption that the AB symmetry is a fundamental symmetry in the GFQT (and in nature if it is described by quantum theory over a Galois field). We also consider operatorial formulations of space inversion and X inversion in the GFQT. It is shown in particular that the well known fact, that the parity of bosons is real and the parity of fermions is imaginary, is a simple consequence of the AB symmetry.

研究の動機と目的

• AB対称性—ガロア体上の量子理論（GFQT）に特有の粒子-反粒子対称性—が超対称性と両立可能かどうかを調査すること。
• 標準ヒルベルト空間表現に類似した、有限体上での osp(1,4)スーパー代数のモジュラー完全不可約表現を構成すること。
• GFQTにおける空間反転およびX反転対称性に対するAB対称性の意味を検討し、特に粒子のパリティが実数であるか、あるいは虚数であるかの問題に関して考察すること。
• AB対称性と超対称性やパリティなどの主要な対称性の両立性に基づき、GFQTを標準量子力学よりもより根本的な枠組みとする理論的基盤を提供すること。

提案手法

• F_{p²} 上で、sp(2) および so(2,3) 代数のモジュラー完全不可約表現（IRs）を、明示的な行列実現を用いて構成する。
• F_{p²} 上で、so(2,3) 代数にフェルミオン的生成子を追加することにより、osp(1,4) スーパー代数のガロア体版を定義する。この生成子は、反交換関係を満たす。
• F_{p²} 上のFock空間に類似した構成を用いて、osp(1,4) スーパー代数のIRsにおけるフェルミオン的演算子の行列要素の明示的公式を導出する。
• GFQTにおける空間反転およびX反転の演算子的定式化を導入し、生成/消滅演算子への作用を位相因子 β_i を用いて定義する。
• AB対称性を用いて、Xパリティ因子 β_i を制約し、X反転に対する不変性を満たすために β₁ = -β₂ = -β₃ = β₀ が必須であることを示す。
• X反転における演算子の変換性を分析することで、AB対称性が直接的にボソンのパリティが実数であり、フェルミオンのパリティが虚数であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AB対称性—GFQTにおける根本的な粒子-反粒子対称性—は超対称性と両立可能か？
• RQ2 osp(1,4) スーパー代数はどのようにガロア体上で実現可能であり、そのモジュラー完全不可約表現の性質は何か？
• RQ3 GFQTにおいて空間反転およびX反転を一貫して定式化できるか？ また、それらはAB対称性とどのように関係するか？
• RQ4 AB対称性は、ボソンのパリティが実数であり、フェルミオンのパリティが虚数であるという標準量子場理論の結果を自然に導くか？
• RQ5 AB対称性は、スーパマルチプレット内の粒子のXパリティにどのような制約を課えるか？

主な発見

• GFQTフレームワークにおいて、osp(1,4) スーパー代数のF_{p²} 上でのモジュラー完全不可約表現を構成し、超対称性変換の下での不変性を検証することで、AB対称性が超対称性と両立可能であることが示された。
• Xパリティ因子 β_i は条件 β₁ = -β₂ = -β₃ = β₀ を満たしており、これはFock空間代数のX反転に対する不変性を保証する。
• ボソンのパリティが実数であり、フェルミオンのパリティが虚数であるというよく知られた結果は、GFQTにおけるAB対称性の直接的結果であり、恣意的な仮定ではない。
• osp(1,4) の完全不可約表現におけるフェルミオン的演算子の行列要素の構成が明示的に与えられ、ガロア体上のFock空間形式主義と整合的であることが示された。
• AB対称性は、スーパマルチプレット内の粒子のパリティが互いに独立でないことを示しており、GFQTにおける相互作用に追加の制約を課す。
• GFQTフレームワークは、量子理論における複素数の存在を自然に説明する：F_{p²} に i に類似した性質を持つ要素が存在するための必要十分条件は、p ≡ 3 (mod 4) であることである。これは、複素振幅の背後にある深い算術的起源を示唆している。