[論文レビュー] Supersymmetry, lattice fermions, independence complexes and cohomology theory

Liza Huijse, Kareljan Schoutens|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2009

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件を満たす2次元正方形格子上の超対称格子フェルミオン模型の量子基底状態と、その独立性複体のコホモロジー類の間に一対一対応が成立することを確立する。主な結果として、P. Fendleyによる予想を証明し、グレード $ n $ におけるコホモロジーの次元が $ n $ 個の平行四辺形タイルによるタイリングの数に等しいことを示した。これにより、タイリングの数が指数関数的に増加するため、基底状態の非拡張的エントロピーが生じることが明らかになった。

ABSTRACT

We analyze the quantum ground state structure of a specific model of itinerant, strongly interacting lattice fermions. The interactions are tuned to make the model supersymmetric. Due to this, quantum ground states are in one-to-one correspondence with cohomology classes of the so-called independence complex of the lattice. Our main result is a complete description of the cohomology, and thereby of the quantum ground states, for a two-dimensional square lattice with periodic boundary conditions. Our work builds on results by J. Jonsson, who determined the Euler characteristic (Witten index) via a correspondence with rhombus tilings of the plane. We prove a theorem, first conjectured by P. Fendley, which relates dimensions of the cohomology at grade n to the number of rhombus tilings with n rhombi.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件を満たす2次元正方形格子上に定義された超対称格子フェルミオン模型の量子基底状態構造を完全に特徴づけること。
• 模型の基底状態と格子の独立性複体のコホモロジー類との間の厳密な数学的対応関係を確立すること。
• P. Fendleyが提起した予想、すなわちグレード $ n $ におけるコホモロジー次元と $ n $ 個の平行四辺形タイルによるタイリング数との関係を証明すること。
• 特別な配置（すべて0またはすべてドットの状態）におけるタイリングとコホモロジー要素の対応の不一致を解消すること。

提案手法

• 超対称格子フェルミオン模型のヒルベルト空間を、格子の独立性複体の鎖複体に写像すること。
• 量子基底状態がこの複体のコホモロジー類に正確に対応することを、超対称性を用いて示し、ゼロエネルギー状態がまさにコホモロジー代表元であることを保証すること。
• 文献[16]の「チェックタクトゥー」補題を適用し、コホモロジー構造を分解して、周期的境界条件下の配置を分析すること。
• 特に2方向に周期的境界条件を課した場合の、$ n $ 個の平行四辺形タイルによるタイリングの数を組合せ的数え上げにより計算すること。
• すべてのサイトが占有されているか空である（すべて0またはすべてドット）ような特別な状況を分析し、特定の周期性条件下で複数のコホモロジー類に写像される可能性を検討すること。
• 異常配置から得られるコホモロジー要素の数 $ N^{(a)} $ とそれに対応するタイリング数 $ t^{(a)} $ の差 $ riangle = N^{(a)} - t^{(a)} $ を導出し、不一致を解消して予想を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラス上に定義された超対称格子フェルミオン模型の量子基底状態は、独立性複体のコホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 グレード $ n $ におけるコホモロジーの次元と、$ n $ 個の平行四辺形タイルによるタイリング数の正確な関係は何か？
• RQ3 すべて0またはすべてドットの配置が、タイリングとコホモロジー要素の対応に不一致を引き起こす理由は何か？ そして、その不一致はどのように解消できるか？
• RQ4 特に系のサイズが $ m = 3n $ を満たす場合に、周期的境界条件下での基底状態 degeneracy の定量的挙動はいかなるものか？
• RQ5 コホモロジー要素とタイリングの差 $ riangle $ は、系の位相的パラメータ $ r $, $ s $, および $ m $ にどのように依存するか？

主な発見

• グレード $ n $ におけるコホモロジーの次元は、正確に $ n $ 個の平行四辺形タイルによるタイリング数に等しく、Fendleyの予想が確認された。
• $ ar{u} = (m, -m) $ かつ $ m eq 3n $ の場合、差 $ riangle = 2 $ であり、2つのコホモロジー要素が対応するタイリングを持たないことを意味し、一対一対応の不一致が解消された。
• $ ar{u} = (3n, -3n) $ の場合、すべて0およびすべてドットの配置に対するタイリング数 $ t^{(a)} $ は $ t^{(a)} = 6 \times \text{mod}~3 条件を満たす二項係数の和} $ で与えられ、差 $ riangle $ は $ r $, $ s $, および $ r-s $ を 6 で割った剰余に依存する。
• 最終的な $ riangle $ の式は式 (46) でコンactに表現されており、$ riangle = -4, 2, 4, -2 $ が $ r+s $ の偶奇および $ r-s \bmod 6 $ の値に応じて得られ、異常性が完全に解消された。
• 平行四辺形タイリングの数が系のサイズとともに指数関数的に増加するため、量子模型は非拡張的基底状態エントロピーを示す。
• 組合せ的タイリング数え上げによりコホモロジー構造が完全に特徴づけられ、差の分析により、特別な周期的状況を除きタイリング-コホモロジー対応の有効性が確認された。