[論文レビュー] Supersymmetry on the lattice: Geometry, Topology, and Flat Bands

Krishanu Roychowdhury, Jan Attig+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2022

Topological Materials and Phenomena参考文献 164被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、スピン統計関係を介したボソン的・フェルミオン的格子模型の統一的枠組みを確立し、ヒルベルト空間の超対称性（SUSY）を用いて、ゼロモード（平坦バンドなど）を除く等スペクトル的関係が、双対的格子上でヘルミート的超電荷演算子が hopping ハミルトニアンとして作用することによって生じることを示している。主な貢献は、超電荷の位相的不変量に基づくSUSY格子対応の五重分類法であり、これにより位相的に保護された平坦バンドやボソン系における平方根的位相的相が特定可能となる。

ABSTRACT

In quantum mechanics, supersymmetry (SUSY) posits an equivalence between two elementary degrees of freedom, bosons, and fermions defined by local rules. Here we apply it to find connections between bosonic and fermionic lattice models in the realm of condensed matter physics and uncover a novel 5-fold way topology it demands in these systems. At the single-particle level, our connections pair a bosonic and fermionic lattice model, either describing the hopping of number-conserving particles or local couplings between fermion parity-conserving particles. The pair are isospectral except for zero modes, such as flat bands, quadratic band touchings, and nexus points, whose existence is undergirded by the Witten index of the SUSY theory. We develop a unifying framework to formulate these SUSY connections in terms of general lattice graph correspondences. Notably, in this framework, the supercharge operator that generates SUSY is Hermitian and can itself be interpreted as a hopping Hamiltonian on a bipartite lattice, a feature that enables the discovery of materials or model lattices hosting the SUSY partners. To illustrate the power of SUSY, we present 16 use cases of SUSY, that span topics including frustrated magnets, Kitaev spin liquids, and topological superconductors, the majority of which turn out to provide insights into the discovery and design of flat bands and topological materials.

研究の動機と目的

• ボソン的・フェルミオン的格子模型を超対称性（SUSY）によって接続するための一般的な幾何学的・位相的枠組みを確立すること。
• SUSY理論におけるウィッテン指数が、ボソン系における平坦バンドおよびゼロモードの存在を説明すること。
• ヘルミート的超電荷演算子の位相的不変量に基づくSUSY格子対応の五重分類法を構築すること。
• 超電荷演算子が双対的格子上で hopping ハミルトニアンとして解釈可能であり、模型間の等スペクトル的写像を可能にすることを示すこと。
• 一般ボソン系に対して位相的不変量を定義し、位相的力学・スピン液体との関連を探索する枠組みを拡張すること。

提案手法

• 格子グラフ対応を用いてSUSY接続を定式化し、ボソン的・フェルミオン的模型を、バンド位相を保存する超電荷演算子によって写像する。
• 双対的格子上で hopping ハミルトニアンとして作用するヘルミート的超電荷演算子を定義し、エネルギースペクトルの平方根化・二乗化を可能にする。
• 超電荷の位相的不変量を用いてSUSY格子対応を分類し、ウィッテン指数および対称性の性質に基づく五重分類法を導出する。
• フラストレーテッド磁性体、キタエフスピン液体、位相的超伝導体といった具体例に枠組みを適用し、等スペクトル性および平坦バンドの形成を実証する。
• Berry曲率および量子計量の分析を用いてフェルミオン的・ボソン的対応を比較し、同一の曲率を示すが、計量要素にわずかな差が生じることを明らかにする。
• 平方根的位相的相への接続を検討し、ボソン数演算子の平方根化技術を用いて相互作用系への応用を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称性をどのように系統的に用いて、位相的性質を保存したままボソン的・フェルミオン的格子模型を結びつけることができるか？
• RQ2 ウィッテン指数は、SUSY接続されたボソン系における平坦バンドおよびゼロモードの存在をどのように決定づけるか？
• RQ3 ヘルミート的超電荷演算子はどのようにしてボソン的・フェルミオン的模型間の等スペクトル的関係を生成し、物理的に hopping ハミルトニアンとして解釈されるか？
• RQ4 SUSY枠組みを用いて一般ボソン系に対して定義可能な位相的不変量は何か？また、それらは超電荷の位相とどのように関係するか？
• RQ5 SUSY枠組みは、スピン液体や位相的秩序が重なり合う高温超伝導体を含む相互作用系へ拡張可能か？

主な発見

• SUSY枠組みにおけるヘルミート的超電荷演算子は、双対的格子上で hopping ハミルトニアンとして作用し、等スペクトル的ボソン的・フェルミオン的模型間の直接的写像を可能にする。
• SUSYによって接続されたボソン的・フェルミオン的模型はゼロモードを除き等スペクトル的であり、ウィッテン指数によって保護され、スペクトル上では平坦バンドとして現れる。
• 超電荷の位相的不変量に基づくSUSY格子対応の五重分類法が確立され、非ゼロウィッテン指数を有するケースも含む。
• SUSY関連のフェルミオン的・ボソン的模型間でBerry曲率は同一であるが、量子計量要素にはわずかな差が生じ、異なった物理的応答（例：異常ホール効果電導度）を示す可能性がある。
• この枠組みにより、平方根的位相的相の構築が可能となり、ボソン系において $2^n$-乗根位相的相を実現する道筋が示される。
• この手法により、一般の二次的ボソン系を数の保存を保ったハミルトニアンに局所的かつ位相を保存する形で簡約可能となり、ボソン系における位相的秩序の研究に新たな道が開かれる。