[論文レビュー] Supersymmetry,Shape Invariance and Exactly Solvable Noncentral Potentials

Avinash Khare, Rajat K. Bhaduri|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 1993

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、球座標における非中心的で分離可能なポテンシャルの広いクラス—最大7つのパラメータを含む—が、超対称性および形状不変性を用いて正確に解けることを示している。連続的に径方向、極座標方向、方位角方向の成分にこれらの技法を適用することで、エネルギー固有値および固有関数の閉形式表現が導かれ、中心的ポテンシャルに限らない複雑な非中心的系に対しても代数的解法が大幅に拡張されている。

ABSTRACT

Using the ideas of supersymmetry and shape invariance we show that the eigenvalues and eigenfunctions of a wide class of noncentral potentials can be obtained in a closed form by the operator method. This generalization considerably extends the list of exactly solvable potentials for which the solution can be obtained algebraically in a simple and elegant manner. As an illustration, we discuss in detail the example of the potential $$V(r,θ,ϕ)={ω^2\over 4}r^2 + {δ\over r^2}+{C\over r^2 sin^2θ}+{D\over r^2 cos^2θ} + {F\over r^2 sin^2θsin^2 αϕ} +{G\over r^2 sin^2θcos^2αϕ}$$ with 7 parameters.Other algebraically solvable examples are also given.

研究の動機と目的

• 中心的ポテンシャルを超えて、3次元の非中心的で分離可能なポテンシャルへ、超対称性および形状不変性に基づく演算子法を一般化すること。
• 既知の形状不変ポテンシャルの結果を用いて、代数的手段で正確に解ける非中心的ポテンシャルの広いクラスを同定すること。
• このようなポテンシャルのエネルギー固有値および固有関数を閉形式で導出する体系的かつ教育的なフレームワークを提供すること。
• 非中心的系におけるスペクトルの简約性とそれらの背後にある対称性との関係を調査すること。

提案手法

• 超対称量子力学（SUSY QM）を用い、超電荷 Q および Q⁺ が代数 {Q, Q⁺} = H、Q² = 0、[H, Q] = 0 を満たすようにする。
• 形状不変条件を適用：V₊(x; a₀) = V₋(x; a₁) + R(a₁)。ここで、ペアのポテンシャルはパラメータと定数の余りのみで異なり、他は同一である。
• 既知の形状不変ポテンシャル（調和振動子およびクーロン型）を用いて、径方向、角方向、方位角方向の各成分を別々に解く。
• r、θ、φ座標における形状不変成分を組み合わせることで、合成された非中心的ポテンシャルを構築し、代数的可解性を保つ。
• 径方向および角方向の波動関数には、それぞれ形状不変解から導かれる関連ラゲール多項式およびジャコビ多項式を用いる。
• 個々の解 Rₙ(r)、Hₙ(θ)、Kₙ(φ) を組み合わせて、完全な分離可能な固有関数 ψ(r,θ,φ) = Rᵢ(r)Hⱼ(θ)K_q(φ) を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称性および形状不変性の形式的枠組みを、非中心的で分離可能な3次元量子ポテンシャルを解くために拡張できるか？
• RQ2 形状不変な径方向、角方向、方位角方向の成分から構成される非中心的ポテンシャルのエネルギー準位構造はいかなるものか？
• RQ3 このような非中心的系のスペクトルに簡約性が現れる条件は何か？
• RQ4 連続スペクトルを持つ非中心的ポテンシャル（例：クーロン型）の位相シフトを代数的に計算できるか？

主な発見

• ポテンシャル V₁(r,θ,φ) のエネルギー固有値は、Eₙ,ₙ₁,ₙ₂ = [(2n₂ + 1) + (δ + l₁²)¹ᐟ²]ω で与えられ、l₁² はパラメータ C, D, F, G, α および量子数を含むネストされた平方根の形で表される。
• クーロン型径方向ポテンシャルでは、エネルギー固有値は E⁽²⁾ = -e⁴ / [4(n₂ + B₂ + 1)²] で与えられ、B₂ は角方向のパラメータによって決定される。
• 2種類の径方向、3種類の角方向、2種類の方位角方向の形状不変ポテンシャルを組み合わせることで、12種の異なる非中心的ポテンシャルを構築でき、それぞれが閉形式の解を有する。
• δ = 0 かつ C = 0 で α が有理数のとき、特に V₁(θ) または V₃(θ) と V₁(φ) を持つ系では簡約性が現れ、隠れた対称性の可能性を示唆する。
• 固有関数は、径方向、角方向、方位角方向の積で表される：ψ = Rᵢ(r)Hⱼ(θ)K_q(φ)。ここで Rᵢ および Hⱼ はラゲール多項式およびジャコビ多項式から導かれる。
• この手法は、円柱座標系などの他の座標系や高次元へも一般化可能であり、より広範な非中心的ポテンシャルのクラスに対する代数的解法を可能にする。