[論文レビュー] Supertranslations call for superrotations

Glenn Barnich, Cédric Troessaert|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 62

ひとこと要約

本稿では、3次元および4次元の時空において、光的無限遠点における漸近平坦時空が、ポアンカレ代数を拡張する無限次元の対称性代数を持つことを確立している。この代数には、スーパー翻訳とスーパー回転が含まれる。著者らは、$χ\mathfrak{bms}_3$ および $χ\mathfrak{bms}_4$ 代数の中心拡張を分類し、代数が閉じるためにはスーパー回転が不可欠であり、標準的な移動とローレンツ変換を超えた一貫した対称性構造を提供することを証明した。

ABSTRACT

We review recent results on symmetries of asymptotically flat spacetimes at null infinity. In higher dimensions, the symmetry algebra realizes the Poincaré algebra. In three and four dimensions, besides the infinitesimal supertranslations that have been known since the sixties, the algebras are evenly balanced because there are also infinitesimal superrotations. We provide the classification of central extensions of the bms3 and bms4 algebras. Applications and consequences as well as directions for future work are briefly indicated.

研究の動機と目的

• 高次元の漸近平坦時空における漸近的対称性の構造を明確にし、それがポアンカレ代数に還元されることを示すこと。
• 3次元および4次元において、漸近的対称性代数が無限次元であり、ポアンカレ代数にスーパー翻訳とスーパー回転を加えて拡張されることを示すこと。
• $χ\mathfrak{bms}_3$ および $χ\mathfrak{bms}_4$ 代数の中心拡張を分類し、スーパー回転が代数を閉じる役割を特定すること。
• Lieアレブロイドに関連する修正されたリーブラケットを用いて、境界Scriおよび時空内部における対称性代数の明示的実現を提供すること。
• 漸近的対称性代数が、Scriにおける異なる計量因子の選択を含むゲージ固定の変更に対しても不変であること、すなわち、異なる定式化間で一貫性を保つこと。

提案手法

• $n$次元における漸近的計量のキリング方程式を解き、$S^{n-2}$ 上の共形キリングベクトルと $S^{n-2}$ 上の関数でパrameter化されたスーパー翻訳の半直積として $χ\mathfrak{bms}_n$ 代数を導出すること。
• 3次元および4次元において、BMS型ゲージを用いて漸近平坦時空を定義し、残渣的対称性を計算すること。
• 縮小位相空間アプローチを用いてゲージを完全に固定し、物理的で任意関数に依存しない対称性代数を保証すること。
• Lieアレブロイド理論を用いて、計量に依存するベクトル場のための修正されたリーブラケットを定義し、内部および境界における代数の一貫した実現を可能にすること。
• 対称性代数に関連する微分複体のコホモロジーを、ghost変数 $\xi^{m,n}$, $C^m$, $\bar{C}^m$ を用いて計算し、コサイクルおよびコバウンダリ条件を解析すること。
• $\gamma$ による微分を用いて $H^2(\mathfrak{bms}_4)$ を解析し、ghost数ごとに分解することで、非自明な中心拡張が $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 部分代数成分からのみ生じることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ3次元および4次元の漸近的対称性代数はポアンカレ代数を超えて拡張され、どのような新しい対称性が要求されるのか？
• RQ2 $χ\mathfrak{bms}_3$ および $χ\mathfrak{bms}_4$ 代数の中心拡張の完全な構造は何か？
• RQ3 3+1次元において、なぜスーパー回転が漸近的対称性代数の必要不可欠な構成要素となるのか？
• RQ4 修正されたリーブラケットが、内部および境界における対称性代数の一貫した実現に果たす役割は何か？
• RQ5 漸近的対称性代数は、Scriにおける異なる計量因子の選択を含むゲージ固定の変更に対して不変であるか？

主な発見

• $n>4$ 次元では、漸近的対称性代数はポアンカレ代数に還元され、スーパー翻訳が通常の移動に収縮する。
• 3次元および4次元では、漸近的対称性代数は無限次元であり、スーパー翻訳とスーパー回転を含み、$χ\mathfrak{bms}_3$ および $χ\mathfrak{bms}_4$ 代数を形成する。
• $χ\mathfrak{bms}_3$ および $χ\mathfrak{bms}_4$ 代数の中心拡張の分類により、非自明な中心荷重は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 部分代数からのみ生じることが判明し、これは標準的なローレンツ生成子に対応する。
• コホモロジー $H^2(\mathfrak{bms}_4)$ は、ghost場を含む微分複体を用いて計算され、非自明なコサイクルは $\mathcal{N}_{C,\xi}$ および $\mathcal{N}_{\bar{C},\xi}$ の次数ゼロ成分でのみ見られる。
• 解析により、すべての非自明な中心拡張が、標準的な $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$-不変コサイクルによって捕捉され、スーパー翻訳またはスーパー回転のセクターから新たな中心荷重は生じないことが証明された。
• 対称性代数が、Scriにおける異なる計量因子の選択を含むゲージ固定の変更に対しても不変であることが示され、あらゆる定式化にわたるその堅牢性が確認された。