[論文レビュー] Supertropical Monoids: Basics, Canonical Factorization, and Lifting Ghosts to Tangibles

Zur Izhakian, Manfred Knebusch+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超トロピカル半体の一般化として超トロピカルモノイドを導入し、伝送の圏 STROPₘ を確立し、TE関係に関する商が常にこの圏内で存在することを証明する。主な貢献は、任意の超トロピカルモノイドから超トロピカル半体を標準的に構成する方法であり、これにより超バリエーション理論における未解決問題、特にゴーストをタンジブルに上げるための「ほぼタンジブルの上げ」構成による解決が可能になる。

ABSTRACT

Supertropical monoids are a structure slightly more general than the supertropical semirings, which have been introduced and used by the first and the third authors for refinements of tropical geometry and matrix theory in [IR1]-[IR3], and then studied by us in a systematic way in [IKR1]-[IKR3] in connection with "supervaluations". In the present paper we establish a category $\STROP_m$ of supertropical monoids by choosing as morphisms the "transmissions", defined in the same way as done in [IKR1] for supertropical semirings. The previously investigated category $STROP$ of supertropical semirings is a full subcategory of $STROP_m.$ Moreover, there is associated to every supertropical monoid $V$ a supertropical semiring $\hat V$ in a canonical way. A central problem in [IKR1]-[IKR3] has been to find for a supertropical semiring $U$ the quotient $U/E$ by a "TE-relation", which is a certain kind of equivalence relation on the set $U$ compatible with multiplication (cf. [IK1, Definition 4.5]). It turns out that this quotient always exists in $\STROP_m$. In the good case, that $U/E$ is a supertropical semiring, this is also the right quotient in $\STROP.$ Otherwise, analyzing $(U/E)^\wedge,$ we obtain a mild modification of $E$ to a TE-relation $E'$ such that $U/E' = (U/E)^\wedge$ in $\STROP.$ In this way we now can solve various problems left open in [IKR1], [IKR2] and gain further insight into the structure of transmissions and supervaluations. Via supertropical monoids we also obtain new results on totally ordered supervaluations and monotone transmissions studied in [IKR3].

研究の動機と目的

• 超トロピカル半体を超トロピカルモノイドに一般化し、圏 STROP を STROPₘ に拡張すること。
• 特に TE 関係に関する商の存在と構造を含む、超バリエーション理論における未解決問題を解決すること。
• 任意の超トロピカルモノイドから超トロピカル半体を標準的に構成し、ゴーストをタンジブルに上げることを可能にすること。
• 与えられた超バリエーションを支配する最小の超バリエーションとしての「ほぼタンジブルの上げ」の特徴づけ。
• 順序付き超トロピカルモノイドおよび m-超バリエーションの枠組みを確立し、トロピカル幾何学およびバリエーション理論を豊かにすること。

提案手法

• 超トロピカルモノイドを、写像 ν: U → U が冪等的であり、a + a = ν(a) を満たす構造として定義し、超トロピカル半体を一般化する。
• STROPₘ における伝送を、ゴースト写像と乗法的構造を保存する準同型として定義し、圏 STROP を拡張する。
• 任意の超トロピカルモノイド Y に対して、標準的商過程を用いて関連する超トロピカル半体 Ŷ を構成する。
• TE 関係の概念を用いて STROPₘ における商を定義し、常に存在することを示し、商が「良い」場合に限り超トロピカル半体が得られることを示す。
• 超バリエーション φ の「ほぼタンジブルの上げ」φ̌ を、φ̃ の標準的商 (φ̃)̂ として定義し、φ̌ が超バリエーションであることを保証する。
• 「ほぼタンジブルの上げ」φ̌ が φ を支配する最小の超バリエーションであることを証明し、ゴーストをタンジブルに上げる問題を解決する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の超トロピカル半体における TE 関係は、このような商が保証される圏内で商を持つのか？
• RQ2 超トロピカル半体 U における TE 関係 E に対する商 U/E が、自身が超トロピカル半体でない場合、それを超トロピカル半体に持ち上げることは可能か？
• RQ3 超バリエーションにおけるゴースト要素を、洗練された超バリエーションにおいて体系的にタンジブル要素に持ち上げる方法は何か？
• RQ4 与えられた超バリエーションを支配する最小の超バリエーションとは何か？ そして、どのように特徴づけられるか？
• RQ5 超バリエーションの「ほぼタンジブルの上げ」が元の超バリエーションと一致する条件は何か？

主な発見

• 任意の TE 関係 E に対して、商 U/E は超トロピカルモノイドの圏 STROPₘ において常に存在する。
• U/E が超トロピカル半体でない場合、(U/E)̂ は超トロピカル半体であり、修正された TE 関係 E′ に対して U/E′ = (U/E)̂ が成り立つ。これは [IKR1]–[IKR3] に記された長年の問題を解決する。
• 超バリエーション φ の「ほぼタンジブルの上げ」φ̌ は超バリエーションであり、φ を支配する最小の such 超バリエーションである。
• 「ほぼタンジブルの上げ」φ̌ は G(φ̌) = v(𝔮′) を満たす。ここで 𝔮′ は、バリエーション v における非可換元の集合の逆像である。
• v がバリエーション（つまり M が可換）である場合、「ほぼタンジブルの上げ」φ̌ は元のタンジブルの上げ φ̃ と一致する。
• 任意の全射的タンジブル m-超バリエーション φ: R → U に対して、φ(R∖𝔮′) はタンジブル要素の集合 T(U) に等しく、φ(Y(v)) = S(U) が成り立つ。ここで S(U) は U 内のタンジブル非可換積の集合である。