[論文レビュー] Supplementary difference sets with symmetry for Hadamard matrices

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限アーベル群における対称的またはねじれ型の性質を有する新しい補助差集合（SDS）を提示し、ゴエタルズ–セイデル配列を用いて、188、244、508 の順序における従来未知のねじれハダマード行列の構成を可能にする。25、27、49 の位数をもつ初等アーベル群上に、5 つの新しいマルチ巡回型ウィリアムソン行列を構成し、$(127,57,76)$ の差分族を新たに構成することで、508 順序のねじれハダマード行列と同一パラメータの BIBD を得た。

ABSTRACT

First we give an overview of the known supplementary difference sets (SDS) (A_i), i=1..4, with parameters (n;k_i;d), where k_i=|A_i| and each A_i is either symmetric or skew and k_1 + ... + k_4 = n + d. Five new Williamson matrices over the elementary abelian groups of order 25, 27 and 49 are constructed. New examples of skew Hadamard matrices of order 4n for n=47,61,127 are presented. The last of these is obtained from a (127,57,76)-difference family that we have constructed. An old non-published example of G-matrices of order 37 is also included.

研究の動機と目的

• 既知の巡回型ウィリアムソン行列を超えて、対称性タイプ (ksss)、(kkss)、(kkks) を有する補助差集合 (SDS) を探索することで、これまでに知られていなかったねじれハダマード行列の構成を拡張すること。
• 初等アーベル群 $F_{49}$ 上で、ウィリアムソン行列の順序 49 の新しいマルチ巡回型を構成し、ウィルソンの構成とは非同値な例を提供すること。
• 新しい $(127,57,76)$ の差分族を生成し、508 順序のねじれハダマード行列と同一パラメータのバランスの取れた不完全区画設計 (BIBD) を得ること。
• 37 順序の $G$-行列の古い未発表例を回復し、ねじれ型ハダマード行列の既知のリストに貢献すること。

提案手法

• ゴエタルズ–セイデル配列を用いて、有限アーベル群 $\mathcal{A}$ の位数 $n$ をもつ $n\times n$ の 0-1 行列の四つ組から、$4n$ 順序のハダマード行列を構成する。
• 補助差集合 $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ は、パラメータ $(n; k_1,k_2,k_3,k_4; \lambda)$ をもち、$\lambda = \sum k_i - n$ を満たす。これにより、結果として得られる行列がハダマード行列となる。
• 各 $A_i$ は、対称的（$A_i = -A_i$）またはねじれ型（$\mathcal{A} = A_i \cup -A_i \cup \{0\}$）でなければならない。対称性タイプ（例：(ksss)）が、SDS の分類に用いられる。
• 各 $A_i$ の特性関数から 0-1 行列 $A_i^c$ を構成し、その性質がゴエタルズ–セイデル配列によりハダマード行列を生成することを保証する。
• 素数 $n=127$ の場合、$\mathbb{Z}_{127}^*$ 内の部分群 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$ の陪集合を用い、インデックス集合が 3 つの対称ブロックを定義する。
• 古典的なペイリーのねじれ差集合と、新しい $(127,57,76)$ の差分族を組み合わせることで、(ks**) 型の新しい SDS を得られ、508 順序のねじれハダマード行列を生成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性タイプ (ksss)、(kkss)、(kkks) を有する新しい補助差集合を構成し、それにより従来未知のねじれハダマード行列を生成できるか？
• RQ2 位数 $5^2$、$3^3$、$7^2$ の初等アーベル群において、非巡回的かつ非同値な (ssss) 型の SDS が、マルチ巡回型ウィリアムソン行列を生じるか？
• RQ3 $(127,57,76)$ の差分族を構成し、508 順序のねじれハダマード行列を生成できるか？
• RQ4 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 内の陪集合構造が、高い対称性と最適パラメータを有する対称的 SDS の構成を可能にする役割は何か？
• RQ5 SDS の対称性タイプが、関連するねじれハダマード行列の構造と存在に与える影響は何か？

主な発見

• 25、27、49 の順序について、それぞれ 2 つずつ、1 つずつ合計 5 つの新しいマルチ巡回型ウィリアムソン行列を構成した。これらはすべて初等アーベル群上に構成された。
• 188 順序の新しいねじれハダマード行列は、パラメータ $(47;23,21,19,19;35)$ と型 (ks**) をもつ SDS から構成された。最初のブロックは $\mathbb{Z}_{47}$ 内の平方の古典的ねじれ差集合である。
• 244 順序の新しいねじれハダマード行列は、パラメータ $(61;30,28,27,24;48)$ と型 (k**s) をもつ巡回型 SDS から構成され、$n=61$ の場合にこのような行列が存在することを確認した。
• 508 順序の新しいねじれハダマード行列は、$(127,57,76)$ の差分族から構成され、同じパラメータのバランスの取れた不完全区画設計 (BIBD) も得られた。
• $n=127$ の新しい SDS は、$\mathbb{Z}_{127}^*$ 内の部分群 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$ の陪集合を用い、インデックス集合 $J_1, J_2, J_3$ が 3 つの対称ブロックを定義する。これは従来の構成とは非同値である。
• 37 順序の $G$-行列の古い未発表例を回復し、ねじれ型ハダマード行列の既知のリストに貢献した。