[論文レビュー] Supplementary Variable Method for Developing Structure-Preserving Numerical Approximations to Thermodynamically Consistent Partial Differential Equations

Yuezheng Gong, Qi Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、熱力学的に整合的な偏微分方程式、特に勾配流れのためのエネルギー生成率を保存する数値スキームを開発するために、補助変数法（SVM）を導入する。過剰決定系を安定化するための補助変数を導入することで、離散的エネルギー散逸の一貫性が保証され、Cahn-Hilliardモデルにおいて、より大きな時間刻みでより優れた保存性を示し、既存のスキームを上回る精度と効率性を達成する。

ABSTRACT

We present a new temporal discretization paradigm for developing energy-production-rate preserving numerical approximations to thermodynamically consistent partial differential equation systems, called the supplementary variable method. The central idea behind it is to introduce a supplementary variable to the thermodynamically consistent model to make the over-determined equation system, consisting of the thermodynamically consistent PDE system, the energy definition and the energy dissipation equation, structurally stable. The supplementary variable allows one to retain the consistency between the energy dissipation equation and the PDE system after the temporal discretization. We illustrate the method using a dissipative gradient flow model. Among virtually infinite many possibilities, we present two ways to add the supplementary variable in the gradient flow model to develop energy-dissipation-rate preserving algorithms. Spatial discretizations are carried out using the pseudo-spectral method. We then compare the two new schemes with the energy stable SAV scheme and the fully implicit Crank-Nicolson scheme. The results favor the new schemes in the overall performance. This new numerical paradigm can be applied to any thermodynamically consistent models.

研究の動機と目的

• 熱力学的に整合的なPDEの過剰決定系における構造的不安定性、特に時間離散化によってエネルギー散逸とPDEの動的挙動の整合性が失われる問題に対処すること。
• 離散レベルでエネルギー生成率（すなわちエネルギー散逸率）を保存する体系的な数値パラダイムを構築すること。
• 凸分割法や安定化子アプローチといった既存手法の限界、特に離散的エネルギーとPDEの進化の間に保証された整合性がないことへの対処。
• 勾配流れに限らない、熱力学的に整合的な任意のモデルに適用可能な一般化可能なフレームワークの提示。
• SAV-CN や FICN といった既存スキームと比較して、精度と計算効率に優れた性能を示すこと。

提案手法

• 勾配流れ系に補助変数 α(t) を導入することで、過剰決定系を構造的に安定化された系に変換する。
• エネルギー散逸方程式とPDE系を、エネルギー定義と補助変数を含むより大きな一貫性のある系に再定式化する。
• 空間離散化に擬スペクトル法を用いることで、高い精度とスペクトル収束性を維持する。
• 拡張された系に時間離散化を適用し、離散PDEから離散的エネルギー散逸方程式を導出可能にすることで、エネルギー安定性を保証する。
• エネルギー関数形への補助変数の組み込み方を異なる2通りの方法で行い、SVM-I と SVM-II の2つのバリアントを構築する。
• 各時間刻みでスカラー非線形方程式を解き、補助変数を更新することで、エネルギー進化とPDEの動的挙動の整合性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的に整合的なPDEの過剰決定系に補助変数を導入することで、時間離散化後でも構造的一致性を確保できるか？
• RQ2 凸分割や人工的安定化に依存せずに、離散スキームでエネルギー散逸率をどのように保存できるか？
• RQ3 SAV-CN や FICN といった既存手法と比較して、提案スキームの計算コストと精度のトレードオフはどのようなものか？
• RQ4 補助変数法は勾配流れに限らず、他の熱力学的に整合的なモデルへ一般化可能か？
• RQ5 高速な粗大化ダイナミクスを正確に解像できる範囲で、新しいスキームはどの程度大きな時間刻みを許容できるか？

主な発見

• 提案されたSVM-IおよびSVM-IIスキームは、大きな時間刻みでも全体の体積とエネルギー散逸率を正確に保存し、SAV-CNスキームを精度面で上回る。
• SVM-IIは τ = 2.0e-4 の時間刻みで正しいダイナミクスを再現したが、SAV-CNは τ = 3.125e-6 で失敗しており、時間刻みのロバスト性に顕著な向上が確認された。
• 初期の一時的フラクチュエーションを除き、補助変数 α(t) はほぼゼロに近い値を保ち、不自然なダイナミクスを導入せず、安定化補助変数としての役割を果たしていることが確認された。
• SVM-IおよびSVM-IIは、完全陰的クランク・ニコルソン（FICN）スキームよりもCPU時間を短縮したが、SAV-CNよりは長かった。これは各時間刻みでスカラー非線形方程式を解く必要があるためである。
• FICNに比べて優れた計算効率、SAV-CNに比べて高い精度を示し、特に高速な粗大化ダイナミクスの解像に優れた性能を発揮した。
• SVM-IおよびSVM-IIで計算されたエネルギー進化は、全テスト時間刻みで参照解と非常に近い結果を示し、長期的な安定性と整合性を確認した。