[論文レビュー] Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、プロップを介して、コンオンイドやバイオンイドなどの代数的構造を対称モノイダル圏が「供給」するという概念を形式化する。これは、モノイダル積と単位との整合性を定義することで実現される。同論文は、任意の供給において、結合子、単位子、および交差写像が自動的に準同型写像であることを証明し、供給が厳密化に自然に拡張されることを示し、Relのような圏における構造付きストリング図の基礎的枠組みを提供する。

ABSTRACT

It is common to encounter symmetric monoidal categories $\mathcal{C}$ for which every object is equipped with an algebraic structure, in a way that is compatible with the monoidal product and unit in $\mathcal{C}$. We define this formally and say that $\mathcal{C}$ supplies the algebraic structure. For example, the category $\mathsf{Rel}$ of relations between sets has monoidal structures given by both cartesian product and disjoint union, and with respect to either one it supplies comonoids. We prove several facts about the notion of supply, e.g. that the associators, unitors, and braiding of $\mathcal{C}$ are automatically homomorphisms for any supply, as are the coherence isomorphisms for any strong symmetric monoidal functor that preserve supplies. We also show that any supply of structure in a symmetric monoidal category can be extended to a supply of that structure on its strictification.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル圏がプロップで記述される代数的構造を供給する条件を形式的に定義すること。
• 強いモノイダル関手がそのような供給を保存するための条件を確立すること。
• 圏における供給がその厳密化へと拡張できることを示すこと。
• ネットワーク理論、確率論、微分法の分野で用いられるカテゴリー的枠組みを統一・一般化すること。
• ストリング図計算への「ベルとホイッスル」（追加の代数的構造）を体系的に追加する基盤を提供すること。

提案手法

• 対称モノイダル圏におけるプロップ構造の「供給」の概念を導入し、各対象に対して整合性のある射を要請する。
• 「準同型的供給」を定義し、それがカルテジアンモノイダル圏および双積を特徴付けることを示す。
• ストリング図と可換図式を用いて、モノイダル構造と代数的演算との間の整合性条件を表現する。
• 整合性の同型写像（結合子、単位子、交差写像）が、任意の供給に対して自動的に準同型写像であることを証明する。
• 供給を保存する強いモノイダル関手が、その構造の準同型写像の部分圏の間の関手を誘導することを確立する。
• 任意の圏における供給が、標準的同型を介してその厳密化における供給に誘導されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称モノイダル圏が、モノイダル構造と整合的に、すべての対象にコモノイドまたはバイモノイド構造を自然に持ち得る条件は何か？
• RQ2 代数的構造（プロップを介して）が、圏におけるモノイダル積と単位とどのように整合するかを形式的に定義するにはどうすればよいか？
• RQ3 強いモノイダル関手がそのような供給構造を保存するための条件は何か？
• RQ4 整合性の同型写像（結合子、単位子、交差写像）は、供給された構造とどのように作用するか？
• RQ5 圏における供給をその厳密化へと持ち上げることは可能か？ もしそうなら、その方法は何か？

主な発見

• 任意の対称モノイダル圏において、プロップ構造を供給する場合、結合子、単位子、および交差写像は、その構造に対して自動的に準同型写像である。
• プロップの供給を保存する強いモノイダル関手は、その構造の準同型写像の部分圏の間で、well-defined な関手を誘導する。
• 対称モノイダル圏におけるプロップの供給は、その厳密化においても同じ構造の供給を誘導し、厳密化の同型が供給を保存する。
• 整合性写像（例：単位子や結合子）は、供給を保存する関手のもとで、準同型写像へと写される。これにより構造の一貫性が保証される。
• 圏がコモノイドを「ホモモーティックに供給する」という条件は、それがカルテジアンモノイダル圏であることと同値であり、バイモノイドを供給することは、積が双積であることを意味する。
• 供給を保存する関手における強い同型写像（strongator）は、供給射を含む重要な図式の可換性と同値である。