[論文レビュー] Support for Non-conformal Meshes in PETSc's DMPlex Interface

Tobin Isaac, Matthew G. Knepley|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、p4estのフォレスト・オブ・クアッドツリーおよびオクトップスを含む非適合メッシュをネイティブにサポートできるように、PETScのDMPlexインタフェースに拡張を提示する。非適合メッシュの親子関係と非適合インターフェースの種類を記述する階層的ツリー構造とリファレンスツリーを導入することで、ハングド・ノード制約が透明に処理され、従来の適合メッシュ用に書かれた有限要素コードが非適合メッシュに対しても変更なしに動作可能になる。

ABSTRACT

PETSc's DMPlex interface for unstructured meshes has been extended to support non-conformal meshes. The topological construct that DMPlex implements---the CW-complex---is by definition conformal, so representing non- conformal meshes in a way that hides complexity requires careful attention to the interface between DMPlex and numerical methods such as the finite element method. Our approach---which combines a tree structure for subset- superset relationships and a "reference tree" describing the types of non-conformal interfaces---allows finite element code written for conformal meshes to extend automatically: in particular, all "hanging-node" constraint calculations are handled behind the scenes. We give example code demonstrating the use of this extension, and use it to convert forests of quadtrees and forests of octrees from the p4est library to DMPlex meshes.

研究の動機と目的

• PETScのDMPlexインタフェースが、クアッドツリーおよびオクトップスのフォレストを含む非適合階層的メッシュを表現できるようにすること。
• 従来の適合メッシュ用に書かれた有限要素および有限体積法のコードとの後方互換性を維持すること。
• 非適合インターフェースの複雑さ、特にハングド・ノード制約を、データ構造の拡張によって抽象化すること。
• リファレンス要素上のプルバック操作を介して、非適合メッシュ上でも高度な有限要素法（例：H(curl)、H(div)）を可能にすること。
• p4estなどの階層的メッシュフレームワークと、PETScの広範な数値計算ライブラリスタックとの相互運用性を促進すること。

提案手法

• DMPlexの既存のCW複体表現に、メッシュ要因間の親子関係を符号化する階層的ツリー構造を追加する。
• 非適合インターフェース（例：ハングド・ノード）の幾何学的およびトポロジカルなタイプを記述するリファレンスツリーを導入する。
• リファレンスツリーを用いて、ハングド・ノードの制約行列を自動的に計算し、ユーザーの介入なしに連続性を保証する。
• プルバック操作（例：共変および反変ピョーラ変換）を活用して、物理的要素からリファレンス要素へ有限要素関数を写像し、非適合インターフェースを越えて連続性を維持する。
• メッシュの階層をインタフェースの背後に隠すことで、有限要素および有限体積ソルバーにおけるセル中心のループが、適合および非適合メッシュの両方において意味的に同一のままであるように保証する。
• p4estのフォレスト・オブ・クアッドツリーおよびフォレスト・オブ・オクトップスをDMPlexメッシュに変換し、メッシュトポロジーを保持するとともに、PETScの全ソルバおよびプリプロセッサと連携可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合階層的メッシュは、根本的に適合CW複体に基づくPETScのDMPlexインタフェース内でどのように表現可能か？
• RQ2 従来の有限要素および有限体積法のコードとの後方互換性を損なわずに、親子関係および非適合インターフェースの種類を符号化するためのデータ構造は何か？
• RQ3 リファレンスツリーおよび階層的メタデータを用いて、ハングド・ノード制約を自動的に計算し、手動での制約アセンブリの必要性を排除できるか？
• RQ4 既存の有限要素および有限体積ソルバーが、メッシュの階層を抽象化することで、非適合メッシュに対しても変更なしに動作するまでの程度はどの程度か？
• RQ5 リファレンス要素上のプルバック操作を用いて、非適合メッシュ上でも高度な有限要素（例：H(curl)、H(div)）をどのようにサポートできるか？

主な発見

• この拡張により、DMPlexはp4estライブラリからのクアッドツリーおよびオクトップスのフォレストを含む非適合メッシュを正しく表現できるようになった。
• ハングド・ノード制約は、リファレンスツリーおよび階層的ツリーを用いて裏で自動的に計算され、有限要素コードの変更は一切不要である。
• 共変および反変ピョーラ変換を必要とする有限要素法も、リファレンス要素へのプルバックを介して非適合メッシュに適用可能である。
• DMPlexのDM APIとの完全な互換性が維持されており、サブメッシュ抽出、メッシュ分割、PetscFEおよびPetscFVとの統合もサポートされている。
• 有限体積法の非適合メッシュ対応が拡張されているが、面における複数セルサポートやフラックスの二重カウントの問題により、課題が残っている。
• このアプローチにより、有限要素と有限体積のフィールドが共存するマルチフィジックスシミュレーションにおいて、アダプティブメッシュリファインメントをシームレスに利用可能にした。