[論文レビュー] Support of Borelian Measures in Separable Banach Spaces

E. Ostrovsky|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、可分バナッハ空間（SBS）上の任意のボレル確率測度が、コンパクトに埋め込まれたSBS部分空間に含まれるというサポートを確立する。確率変数のノルムが指数的オーリツ空間にあるとき、そのノルムがより弱いオーリツ空間にあるコンパクトに埋め込まれた部分空間が存在することを証明し、標準的なΔ₂条件を超えた結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove in this article that every Borelian measure, for example, the distribution of a random variable, in separable Banach space has a support which is compact embedded Banach subspace; and prove that if the norm of the random variable belongs to some exponential Orlicz space, then the new subspace can be choose such that the norm of this variable in the new space also belongs to other exponential Orlicz space.

研究の動機と目的

• オーリツノルムのΔ₂条件を満たさない場合でも、可分バナッハ空間におけるボレル測度のサポート定理を拡張すること。
• 確率変数のノルムが関数Φによって定義されるオーリツ空間に属するならば、その分布が、ノルムが関数Ψによって定義されるより弱いオーリツ空間に属するコンパクトに埋め込まれた部分空間にサポートされることを確立すること。
• 有界でないσ-有限な連続測度および支配性と弱収束の下での測度族への一般化を図ること。
• モーメント条件の下で、測度族の均等可積分性がより弱いオーリツ空間で成り立つかどうかを調査すること。
• より弱いモーメント条件の下で、可分な確率場の上界のオーリツノルム可積分性に関する未解決の予想を提示・探求すること。

提案手法

• 一般のSBSを、一様ノルムを備えた連続関数の普遍空間C[0,1]に還元する。
• サンプルパスの正則性を特徴付けるために、連続性モジュラスω(ξ, δ)を用いる。
• オーリツ空間におけるモーメント収束を適用する：EΦ(|ξ|∞) ≤ 1 ならば、δ → 0+ のとき EΦ(ω(ξ, δ)) → 0 である。
• 各nについて supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) < ∞ を満たす関数の部分空間Z ⊂ C[0,1]を構成し、ノルム |g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) を備える。
• Zが可分バナッハ空間であり、アーヴェルラ＝アスコリの定理によりC[0,1]にコンパクトに埋め込まれることを証明する。
• オーリツノルムの有限性を確立する：|||ξ|∞,ω||Or(Ψ) < ∞ であることを、|||ξ|∞||Or(Φ) と ∑ₙ 2ⁿ ||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 1 を用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーリツ関数ΦがΔ₂条件を満たさない場合、可分バナッハ空間上のボレル測度のサポートが、コンパクトに埋め込まれた部分空間に含まれるか。
• RQ2 確率変数のノルムがオーリツ空間Or(Φ)に属するならば、ノルムがΦより厳密に弱いオーリツ空間Or(Ψ)に属するコンパクトに埋め込まれた部分空間が存在するか。
• RQ3 結果は有界でないσ-有限な連続測度に拡張可能か。また、支配的測度族において、共通のコンパクトに埋め込まれた部分空間がすべての測度をサポートできるか。
• RQ4 可分バナッハ空間上の弱収束列の測度が、収束が部分空間で成り立つ共通のコンパクトに埋め込まれた部分空間にサポートできるか。
• RQ5 有限なオーリツノルムをΦで持つ可分な確率場の上界が、Φより弱い関数Ψ << Φに対してオーリツ空間Or(Ψ)に属するか。

主な発見

• 可分バナッハ空間上の任意のボレル測度は、コンパクトに埋め込まれた可分バナッハ部分空間に含まれるサポートを持つ。
• ノルム |ξ|X がオーリツ空間Or(Φ)に属するならば、任意のΦより弱いオーリツ関数Ψに対し、ノルム |ξ|Y がOr(Ψ)に属するコンパクトに埋め込まれた部分空間Yが存在する。
• ||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 4⁻ⁿ となるようなδ(n) → 0 の列を用いることで、収束を保証する。
• 得られた部分空間Zはノルム |g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) を備え、アーヴェルラ＝アスコリの定理によりC[0,1]にコンパクトに埋め込まれた可分バナッハ空間である。
• 有界でないσ-有限測度に対しても、支配性の下で同じ結果が成り立ち、同じ部分空間構成により |||ξ|Y||Or(Ψ) < ∞ が保証される。
• 支配性または弱収束の下で可算な測度族に対しても結果は一般化され、共通のコンパクトに埋め込まれたサポート部分空間が得られる。