[論文レビュー] Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems

Jan Boman, Filip Lindskog|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分布論におけるラドン変換の単射性定理を用いて、原点付近で無限質量をもつ測度へのクラーマー＝ヴォルトの定理の拡張を試みている。コンパクトな凸集合の外部または凸錐に台を持つ測度およびその系列の新たな一意性と収束に関する結果を確立し、同型分布および径方向関数を用いた反例により仮定の鋭さを示している。

ABSTRACT

This article presents extensions of the Cram{é}r-Wold theorem to measures that may have infinite mass near the origin. Corresponding results for sequences of measures are presented together with examples showing that the assumptions imposed are sharp. The extensions build on a number of results and methods concerned with injectivity properties of the Radon transform. Using a few tools from distribution theory and Fourier analysis we show that the presented injectivity results for the Radon transform lead to Cram{é}r-Wold type results for measures. One purpose of this article is to contribute to making known to probabilists interesting results for the Radon transform that have been developed essentially during the 1980ies and 1990ies.

研究の動機と目的

• 原点付近で無限質量をもつ測度に対してクラーマー＝ヴォルト定理の不一意性が生じる問題に対処する。特に極値理論や極限定理において顕著である。
• 確率測度でない符号付き測度および非負測度に対しても、古典的なクラーマー＝ヴォルト結果を拡張する。
• 原点を含まないすべての閉半空間における測度の値によって、測度が一意に決定される条件を特定する。特に、凸集合の外部または凸錐において有効である。
• 半空間分布関数に基づく、このような測度の系列の収束基準を確立する。
• 同型分布および径方向関数を用いた反例により、仮定の鋭さを示す。

提案手法

• 分布論とフーリエ解析を用いて、可積分でないか、無限質量をもつ測度に対してもラドン変換を拡張し、非可積分または無限質量測度の解析を可能にする。
• 外部ラドン変換を用いて、コンパクトな凸集合 K の外部に測度を再構成する。同型または錐台付き測度に対する単射性定理（定理 B–D）を適用する。
• R^d \ {0} で定義された関数および測度の同型拡張を、分布的微分および球座標を用いて R^d に構成する。
• 測度を試験関数上の連続線形汎関数として定義することで、符号付き測度および無限質量測度を分布論によって取り扱えるようにする。
• 反復分布的微分を用いた同型分布の拡張のための基本的恒等式 (6.2) を導出する。これにより、R^d \ {0} 上の元関数と整合的かつ同型性が保証される。
• ラドン変換の単射性の性質を用いて、特に直線を含まない凸錐に台を持つ測度および系列に対してクラーマー＝ヴォルト型定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点が台に含まれる場合、原点付近で無限質量をもつ測度に対してもクラーマー＝ヴォルト定理を拡張できるか。
• RQ2 すべての原点を含まない閉半空間における測度の値によって、測度が一意に決定される条件は何か。
• RQ3 半空間分布関数に基づく、このような測度の系列の弱収束の必要十分条件は何か。
• RQ4 同型性、減衰性、または錐台付き性に関する仮定が、外部ラドン変換の単射性にどのように影響するか。
• RQ5 拡張されたクラーマー＝ヴォルト定理における仮定は鋭いか。必要性を示す反例を構成できるか。

主な発見

• 定理 4 および定理 4′ は、完全な直線を含まない閉凸錐に台を持つ測度に対して、クラーマー＝ヴォルト型の一意性および収束性を確立し、これは画期的な貢献である。
• 定理 3b および定理 3′ は、同型性がなくても、錐台付き仮定のもとで非負測度の一意性を提供し、従来の結果を拡張している。
• 第 5 章の反例は、定理 B–D の仮定が鋭いことを示しており、非整数次の同型分布を用いた構成が含まれる。
• 任意の非整数 γ < -d に対して、R^d \ {0} 上の γ 次の同型分布 f は、R^d への一意な同型拡張をもつ。これは反復分布的微分を用いて構成される。
• ||μ_ε||_M ≤ Cε^{-m} を満たす M_loc(R^d \ {0}) 内の測度 μ は、R^d 上の分布へ拡張可能であり、特異的または緩やかに減衰する測度の解析が可能になる。
• バスラク、デイビス、ミコシュ（2002）の予想は、定理 4′ から導かれる推論 2 により裏付けられ、確率測度のスケーリング極限に関する予想が肯定された。