[論文レビュー] Support varieties and the Hochschild cohomology ring modulo nilpotence

Nicole Snashall|ArXiv.org|Nov 27, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、有限次元代数のHochschildコホモロジー環の冪零元による商環の構造を、特にサポート多様体と有限生成性に関して調査する。この商環が常に有限生成であるという予想に対して反例を提示し、特性2の体上の特定のコシュール代数に対して、この商環が代数として有限生成でないことを示している。

ABSTRACT

This is a survey paper based on my talks at the 41st Symposium on Ring Theory and Representation Theory, held in Shizuoka University, Japan in September 2008, and will appear in the conference proceedings. The paper begins with a brief introduction to the use of Hochschild cohomology in developing the theory of support varieties for a module over an artin algebra, by Snashall and Solberg (Proc. London Math. Soc.(3) 88 (2004), 705-732). The paper then describes the current status of research concerning the structure of the Hochschild cohomology ring modulo nilpotence.

研究の動機と目的

• 有限次元代数のHochschildコホモロジー環の冪零元による商環の有限生成性を調査すること。
• Hochschildコホモロジーを用いて表現論におけるサポート多様体の役割を検討すること。
• 特にコシュール代数を含む特定の代数クラスにおいて、Hochschildコホモロジー環の冪零元による商環の構造を分析すること。
• この商環が常に有限生成であるという予想の妥当性を評価すること。
• Hochschildコホモロジー環の冪零元による商環の有限生成性の必要十分条件を特定すること。

提案手法

• 包あらゆる代数 $\Lambda^e = \Lambda^{\mathrm{op}} \otimes_K \Lambda$ 上でのExt群とYoneda積を用いてHochschildコホモロジーを扱う。
• バーレゾリューションを用いて低次のコホモロジー群を計算する：$\mathrm{HH}^0(\Lambda) = Z(\Lambda)$、$\mathrm{HH}^1(\Lambda)$ は内自己準同型による商をとった導分の空間、$\mathrm{HH}^2(\Lambda)$ は無限小変形を表す。
• $\mathcal{N}$ を同次元の冪零元が生成するイデアルとするとき、商環 $\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ を研究する。
• コシュール双対性を用いて、$\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ をコシュール双対代数 $E(\Lambda)$ の次数付き中心に関連付ける。
• 頂点 1,2 と矢印 $a,b,c$ を持つ特定の代数 $\mathcal{A}$ を考察し、特性 2 および $\neq 2$ の場合に $\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N}$ を明示的に計算する。
• 同型 $\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N} \cong Z_{\mathrm{gr}}(E(\mathcal{A}))/\mathcal{N}_Z$ を用いて、商環の構造を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元代数に対して、Hochschildコホモロジー環の冪零元による商環は常に代数として有限生成であるか？
• RQ2 $\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ の構造は、表現論におけるサポート多様体とどのように関係しているか？
• RQ3 特に正の特性において、コシュール代数に対して $\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ の正確な構造は何か？
• RQ4 有限生成性の予想に対する反例は一般化可能か、あるいは特徴づけられるか？
• RQ5 $\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ が有限生成であるための条件は何か？

主な発見

• 特性 2 の体をもつ例 4.1 の代数 $\mathcal{A}$ に対して、Hochschildコホモロジー環の冪零元による商 $\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N}$ は代数として有限生成でない。
• 特性 $K = 2$ の場合、$\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N} \cong K \oplus K[a,b]b$ であり、$b$ は次数 1、$ab$ は次数 2 にあり、この環は有限生成でない。
• 特性 $K \neq 2$ の場合、$\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N} \cong K \oplus K[a^2, b^2]b^2$ であり、これも代数として有限生成でない。
• 反例は、頂点 1,2 と矢印 $a,b,c$ を持つコシュール代数から生じており、関係式 $ab + ba = 0$、$bc = 0$ を満たす。
• 同型 $\mathrm{HH}^*(\mathcal{A})/\mathcal{N} \cong Z_{\mathrm{gr}}(E(\mathcal{A}))/\mathcal{N}_Z$ はコシュール双対性により確立され、$E(\mathcal{A})$ は関係式 $a^o b^o + b^o a^o = 0$、$b^o c^o = 0$ を満たすコシュール双対代数である。
• この結果により、[50]で提示された $\mathrm{HH}^*(\Lambda)/\mathcal{N}$ が常に有限生成であるという予想は誤りであることが示され、有限生成性の必要十分条件に関する新たな問いが提起された。