[論文レビュー] Support varieties over complete intersections made easy

Petter Andreas Bergh, David A. Jorgensen|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完備交差環上の加群のサポート多様体の座標に依存しない別定義を導入し、既知の結果の証明を簡略化するとともに、新たな応用を可能にする。特異的超曲面 $ Q/(f) $ 上での Ext の消滅を用いてサポート多様体を再定義することで、より明確な概念的証明が得られ、任意のアフィン錐が完備交差環上の有限長加群のサポート多様体として実現可能であることが示された。

ABSTRACT

Using an alternate description of support varieties of pairs of modules over a complete intersection, we give several new applications of such varieties, including results for support varieties of intermediate complete intersections. Simpler proofs of known results are also given.

研究の動機と目的

• 座標に依存しない定義を導入することで、完備交差環上のサポート多様体理論を簡略化し、明確化すること。
• 新しい定義を用いて、サポート多様体理論における既知の結果の概念的で明確な証明を提供すること。
• 中間的完備交差環および関連する環に対するサポート多様体の新たな応用を確立すること。
• 空間内の任意のアフィン錐が、完備交差環上の有限長加群のサポート多様体として実現可能であることを証明すること。
• 任意の錐が、有限長加群のサポート多様体として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• サポート多様体 $ \operatorname{V}_R(M,N) $ を、$ \overline{f} \in V = I/\mathfrak{n}I $ で、$ \operatorname{Ext}^i_{Q/(f)}(M,N) \neq 0 $ となる $ i $ が無限に多く存在するものとし、原点を含めるものとする。
• 同じ像 $ \overline{f} \in V $ を持つ代表元 $ f \in I $ の選び方に依存しないことから、定義の整合性が保証されることを用いる。
• Avramov-Buchweitz および Jorgensen によって確立された、この座標に依存しない定義と、コhomology作用素による古典的定義との同値性を活用する。
• 多項式環 $ k[\chi] $ 上での $ \operatorname{Ext}^*_{R}(M,N) $ の annihilator を用いたコホモロジー的サポート多様体の理論を適用し、多様体を斉次イデアルの零点集合として特定する。
• $ \operatorname{Ext}^*_{R}(M,N) $ が $ R[\chi] $ 上で有限生成であることから、サポート多様体が閉錐であることが保証されることを用いる。
• サポート多様体が syzygy および完全系列の下で保存されることを活用し、帰納的および構造的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備交差環上のサポート多様体は、証明の簡略化と構造の明確化を図る座標に依存しない方法で再定義可能か？
• RQ2 新しい定義は、中間的完備交差環および関連する環への新たな応用を可能にするか？
• RQ3 $ \mathbb{A}^c $ 内の任意のアフィン錐が、ある完備交差環上の有限生成加群のサポート多様体として実現可能か？
• RQ4 有限長加群のサポート多様体が、アフィン空間内の任意の与えられた錐を実現可能か？
• RQ5 新しい定義は、古典的なコホモロジー作用素アプローチと比較して、概念的明確性と計算的有用性の面でどのように異なるか？

主な発見

• Ext の消滅を用いたサポート多様体の別定義は、$ \overline{f} \in V $ を固定する代表元 $ f \in I $ の選び方に依存せず、well-defined である。
• サポート多様体 $ \operatorname{V}_R(M,N) $ は $ V $ 内の閉錐であり、座標が選ばれた場合には古典的定義（コホモロジー作用素による定義）と一致する。
• 任意の有限生成 $ R $-加群 $ M $ について、$ M $ がコーン・マカウレイ（Cohen-Macaulay）的で余次元 $ m $ であるとき、$ \operatorname{V}_R(M) = \operatorname{V}_R(\operatorname{Ext}^m_R(M,R)) $ が成り立ち、特に最大コーン・マカウレイ加群に対しては $ \operatorname{V}_R(M) = \operatorname{V}_R(\operatorname{Hom}_R(M,R)) $ が成り立つ。
• 加群 $ M $ のサポート多様体は syzygy をとる操作で不変である：$ M, N $ の syzygy が $ M', N' $ であるとき、$ \operatorname{V}_R(M,N) = \operatorname{V}_R(M',N') $ が成り立つ。
• 任意の有限生成 $ R $-加群 $ M $ について、$ x_1,\dots,x_d $ が $ M $-正則列であるとき、$ \operatorname{V}_R(M) = \operatorname{V}_R(M/(x_1,\dots,x_d)M) $ が成り立つ。
• 任意の $ \mathbb{A}^c(\overline{k}) $ 内の閉錐は、ある完備交差環 $ R = Q/I $ 上の有限生成 $ R $-加群のサポート多様体として実現可能であり、特に有限長加群に対しても成立する。