[論文レビュー] Suppression of blow-up in Patlak-Keller-Segel via shear flows

Jacob Bedrossian, Siming He|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

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ひとこと要約

本稿は、トーラス上でのPatlak-Keller-Segelモデルにおいて、大規模なせん断流れが有限時間 blow-up を抑制することを示している。せん断流れは拡산を強化し、有効次元を低下させることで、2次元問題を $L^1$-下臨界、3次元問題を $L^1$-臨界にし、2次元では任意の初期データ、3次元では質量 $\leq 8\pi$ に対して、せん断強度 $A$ が十分に大きいとき、解の全域的存続を保証する。

ABSTRACT

In this paper we consider the parabolic-elliptic Patlak-Keller-Segel models in $\mathbb T^d$ with $d=2,3$ with the additional effect of advection by a large shear flow. Without the shear flow, the model is $L^1$ critical in two dimensions with critical mass $8π$; solutions with mass less than $8π$ are global and solutions with mass larger than $8 π$ with finite second moment, all blow up in finite time. In three dimensions, the model is $L^{3/2}$ critical and $L^1$ supercritical; there exists solutions with arbitrarily small mass which blow up in finite time arbitrarily fast. We show that the additional shear flow, if it is chosen sufficiently large, suppresses one dimension of the dynamics and hence can suppress blow-up. In two dimensions, the problem becomes effectively $L^1$ subcritical and so all solutions are global in time (if the shear flow is chosen large). In three dimensions, the problem is effectively $L^1$ critical, and solutions with mass less than $8π$ are global in time (and for all mass larger than $8π$, there exists solutions which blow up in finite time).

研究の動機と目的

• $d=2,3$ の $\mathbb{T}^d$ 上で、大規模なせん断流れが有限時間 blow-up を防げるかどうかを調査すること。
• せん断流れが1つの空間次元を抑制することで、モデルの臨界性がどのように変化するかを分析すること。
• 任意の初期データ（2次元）および質量 $\leq 8\pi$（3次元）に対して、大規模なせん断流れのもとで解の全域的存続を確立すること。
• せん断による強化された拡散が、化学走性凝集を安定化させる役割を定量化すること。

提案手法

• $\mathbb{T}^d$ 上で、$u$ を非退化臨界点を有限個もつ $C^3$ 関数として、$A u \partial_x n$ 項を含むPatlak-Keller-Segel系をモデル化する。
• 解を $x$ 方向のゼロ周波数成分と非ゼロ周波数成分に分解し、せん断の混合および拡散への影響を分離する。
• Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式およびCalderón-Zygmund 不等式を用いたモード別推定により、$\nabla c$ の $L^\infty$ 範囲を制御する。
• せん断による強化された拡散効果を用いて、勾配の増大を抑制し、blow-up を防ぐ。
• 有効臨界性のシフトを分析：2次元では問題が $L^1$-下臨界に、3次元では $L^1$-臨界に変わる。
• エネルギー推定および自由エネルギー汎関数 $\mathcal{F}[n] = \int n \log n \, dx - \frac{1}{2} \int |\nabla c|^2 \, dx$ を用いて、$n$ および $\nabla c$ に対する事前評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模なせん断流れは、任意の初期データをもつ2次元Patlak-Keller-Segelモデルで有限時間 blow-up を抑制できるか？
• RQ2 せん断流れの存在により、問題の有効次元が低下し、$L^1$-臨界的ダイナミクスが $L^1$-下臨界的になるか？
• RQ3 3次元において、せん断流れが $L^1$-臨界的挙動を回復させ、質量 $\leq 8\pi$ の解が全域的に有界になるか？
• RQ4 せん断流れはどのように拡散を強化し、化学走性モデルにおける特異点形成を防ぐか？
• RQ5 全域的存続を保証するための最小のせん断強度 $A_0$ は何か？ また、初期データのノルムにどのように依存するか？

主な発見

• 2次元では、$H^1 \cap L^\infty$ 初期データに対して、$A > A_0$ であれば全域的解が得られる。ここで $A_0$ は初期データの $H^1$ および $L^\infty$ ノルムに依存する。
• 2次元では、せん断流れのおかげで問題が有効的に $L^1$-下臨界となり、質量にかかわらず blow-up が防がれる。
• 3次元では、初期質量 $\leq 8\pi$ であれば、$A > A_0$ のとき解は全域的に有界である。ここで $A_0$ は初期データの $H^1$ および $L^\infty$ ノルムに依存する。
• 3次元では、せん断流れが $L^1$-臨界的挙動を回復させ、$8\pi$ を超える質量では still blow-up が生じる可能性があるが、$A$ が十分に大きくない限りはそうならない。
• せん断による強化された拡散は、$n$ の勾配の増大を抑制し、凝集や特異点形成を防ぐ。
• 解析から、せん断流れは $x$ 方向のダイナミクスを分離させ、横方向の次元で低次元問題と同様の挙動を示すことが明らかになった。