[論文レビュー] Suppression of topologically nontrivial sectors in gauge theory on 2d non-commutative geometry

Hajime Aoki, Jun Nishimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 60被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元非可換トーラス上のU(1)ゲージ理論における位相的領域を、非摂動的ねじれ還元モデルを用いて調査する。パリティ破れが非対称な位相的領域分布を許容するものの、非可換幾何学は連続極限および無限体積極限において位相的に非自明な領域を指数関数的に抑制することが判明した。これは、強いCP問題に対する可能性のある解決策を示唆している。

ABSTRACT

We investigate the effect of non-commutative geometry on the topological aspects of gauge theory using a non-perturbative formulation based on the twisted reduced model. The configuration space is decomposed into topological sectors labeled by the index $\ u$ of the overlap Dirac operator satisfying the Ginsparg-Wilson relation. We study the probability distribution of $\ u$ by Monte Carlo simulation in the U(1) gauge theory on 2d non-commutative torus. To our surprise, the distribution turns out to be asymmetric under $\ u \\mapsto -\ u$, which is possible due to parity violation by non-commutative geometry. As we take the continuum and infinite-volume limits, however, the topologically nontrivial sectors are suppressed exponentially in striking contrast to the situation in the usual commutative space. This conclusion is supported by the behavior of the average action in each topological sector in the above limit, and it is also consistent with the instanton calculus in the continuum theory. We speculate that non-commutative geometry may provide a possible solution to the strong CP problem.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学がゲージ理論における位相的領域に与える影響を調査すること。
• 非可換な設定下で、重ね合わせディラック作用素のインデックスによってラベル付けされた位相的電荷の振る舞いを理解すること。
• 非可換幾何学が自然に位相的に非自明な配置を抑制するかどうかを探索し、強いつよいCP問題の解決策となる可能性を検討すること。
• ねじれ還元モデルの枠組み内でモンテカルロシミュレーションを用いて、位相的電荷の確率分布を分析すること。

提案手法

• 2次元非可換トーラス上のゲージ理論の非摂動的定式化として、ねじれ還元モデルの利用。
• ギンスバーグ＝ウィルソン関係を満たす重ね合わせディラック作用素のインデックス $ u $ を用いた位相的領域のラベル付け。
• 非可換トーラス上のU(1)ゲージ理論における $ u $ の確率分布を計算するためのモンテカルロシミュレーション。
• 各々の位相的領域における平均作用を分析し、それらの相対的安定性および抑制度を評価すること。
• 数値結果を連続インスタントン計算と比較して、結果の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、2次元U(1)ゲージ理論における位相的領域の分布にどのように影響を与えるか？
• RQ2 なぜ位相的電荷分布が $ u \mapsto -u $ に対して非対称であり、パリティ破れはその背後にどのような役割を果たすのか？
• RQ3 連続極限および無限体積極限において、位相的に非自明な領域はどの程度抑制されるのか？
• RQ4 各領域における平均作用の振る舞いは、非自明な領域の指数的抑制を支持するか？
• RQ5 非可換モデルで観測された抑制は、連続インスタントン計算の予測と一致するか？

主な発見

• 位相的電荷 $ u $ の確率分布は $ u \mapsto -u $ に対して非対称であり、これは非可換幾何学におけるパリティ破れの結果である。
• 連続極限および無限体積極限において、位相的に非自明な領域は指数関数的に抑制されるが、これは可換空間における振る舞いとは対照的である。
• 非自明な $ u $ に対して著しく増加する各位相的領域における平均作用の振る舞いによって、抑制が確認された。
• 結果は連続極限におけるインスタントン計算と整合的であり、抑制メカニズムの頑健さを支持している。
• 位相的領域の指数的抑制は、非可換ゲージ理論における強いCP問題の動的解決策の可能性を示唆している。