[論文レビュー] Suppression of unbounded gradients in a SDE associated with the Burgers equation

Sergio Albeverio, Olga Rozanova|ArXiv.org|Apr 9, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、一様なノイズを伴うランジュバンSDEを用いて、非粘性バーガース方程式における勾配爆発が確率的摂動によって抑制されるかを調査する。1次元において、初期粒子分布が |x|^{-2} もしくはそれ以上に速く減衰する場合、平均速度の空間微分は有界のまま保たれ、特異性が解消される。一方、それより遅い減衰の場合は、決定論的の場合と同一時刻に爆発が発生する。この抑制効果は、初期粒子分布の減衰率に強く依存する。

ABSTRACT

We consider the Langevin equation describing a stochastically perturbed by uniform noise non-viscous Burgers fluid and introduce a deterministic function that corresponds to the mean of the velocity when we keep the value of position fixed. We study interrelations between this function and the solution of the non-perturbed Burgers equation. Especially we are interested in the property of the solution of the latter equation to develop unbounded gradients within a finite time. We study the question how the initial distribution of particles for the Langevin equation influences this blowup phenomenon. It is shown that for a wide class of initial data and initial distributions of particles the unbounded gradients are eliminated. The case of a linear initial velocity is particular. We show that if the initial distribution of particles is uniform, then the mean of the velocity for a given position coincides with the solution of the Burgers equation and in particular does not depend on the constant variance of the stochastic perturbation. Further, for a one space space variable we get the following result: if the decay rate of the power-behaved initial particles distribution at infinity is greater or equal $|x|^{-2},$ then the blowup is suppressed, otherwise, the blowup takes place at the same moment of time as in the case of the non-perturbed Burgers equation.

研究の動機と目的

• 非粘性バーガース方程式における無限大に発散する勾配（勾配災害）の形成が、確率的摂動によって防げることを調査すること。
• 関連するSDEにおける粒子の初期分布が、平均速度場の爆発時刻および挙動に与える影響を分析すること。
• 確率的平均速度が決定論的解と同一の爆発時刻を示す条件を特定すること。
• ノイズ強度 σ → 0 の極限を調べ、圧力なしガス力学および粘性正則化との関係を明らかにすること。

提案手法

• 位置 X(t) と速度 U(t) の2n次元伊藤型SDEを定式化し、定常ノイズ強度 σ を用いる。
• 平均速度 ū(t,x) を、X(t)=x 条件のもとでの U(t) の条件付き期待値として定義し、P(t,x,u) のFokker-Planck方程式から導出する。
• P の特徴関数を求めるために、x および u におけるフーリエ変換を用いてFokker-Planck方程式を解き、明示的な表現を得る。
• 線形初期速度 u₀(x)=αx (α<0) の場合に、臨界時刻 T=−1/α における x=0 での平均速度微分 ∂ū/∂x の漸近的挙動を分析する。
• ラプラス法および漸近的解析を用いて、初期粒子密度 f(x)∼(1+|x|²)^k を含む積分を評価する。
• σ→0 の極限を考察し、確率的平均を圧力なしガス力学モデルに接続し、決定論的バーガース解への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的ノイズは、非粘性バーガース方程式における無限大に発散する勾配の形成を抑制できるか？
• RQ2 初期粒子分布 f(x) は、平均速度場 ū(t,x) の爆発時刻および挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 勾配爆発が抑制されるかどうかを決定づける f(x) の無限遠における臨界減衰率は何か？
• RQ4 f(x) が一様である場合、平均速度場 ū(t,x) は決定論的バーガース解と一致するか？
• RQ5 ノイズ強度 σ→0 のとき、平均速度の極限的挙動は何か？

主な発見

• 1次元における初期粒子分布が |x|^{-2} またはそれ以上に速く減衰する場合（すなわち k≤−1）、臨界時刻 T=−1/α における平均速度の空間微分 ∂ū/∂x は有界のまま保たれ、爆発が抑制されることを示す。
• 初期粒子分布が |x|^{-2} より遅く減衰する場合（すなわち k>−1）、平均速度微分は決定論的の場合と同一時刻 T に爆発する。
• k=−1/2 の場合、ε→0− において、x=0 における ∂ū/∂x の爆発速度は 1/(ε ln(−ε)) に漸近的に比例する。
• f(x) が一様（k=0）の場合、平均速度 ū(t,x) は σ に依存せず、決定論的バーガース方程式の解と厳密に一致する。
• 線形初期速度 u₀(x)=αx（α<0）の場合、k>−1 ならば爆発時刻 T=−1/α は確率的平均でも保たれるが、k≤−1 ならば抑制される。
• σ→0 の極限において、平均速度 ū(t,x) は決定論的バーガース方程式の解に収束し、Fokker-Planck方程式は圧力なしガス力学モデルに還元され、緩和項 Λ→0 となる。