[論文レビュー] Sur l'autocorrélation multiplicative de la fonction "partie fractionnaire" et une fonction définie par J. R. Wilton

Michel Balazard, Bruno Martin|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

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ひとこと要約

この論文は、$ A(\lambda) = \int_0^\infty \{t\}\{\lambda t\} \frac{dt}{t^2} $ における乗法的自己相関関数の微分可能性を解明する。ここで $ \{\cdot\} $ は小数部を表す。$ A(\lambda) $ を1933年にジェイ・アール・ウィルトンが導入した関数 $ \mathcal{W}(x) $ と結びつけることで、$ \lambda $ が正の無理数であり、かつその連分数近似の分母 $ q_k $ を用いた級数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ が収束する場合に限り、$ A(\lambda) $ が微分可能であることを証明する。

ABSTRACT

We describe the points of diff erentiability of the multiplicative autocorrelation function of the "fractional part" function. In connection with this question, we study series involving the fi rst Bernoulli function, the arithmetical function "number of divisors", and the Gauss map from the theory of continued fractions. A key role is played by a function defi ned in 1933 by J. R. Wilton, similar to the Brjuno function of dynamical systems theory. A unifying theme of our exposition is the use of functional equations involving the Gauss map, allowing us to reprove and re fine a theorem of Wilton, la Bretèche and Tenenbaum.

研究の動機と目的

• 乗法的自己相関関数 $ A(\lambda) = \int_0^\infty \{t\}\{\lambda t\} \frac{dt}{t^2} $ が微分可能な点の集合を特定すること。
• $ A(\lambda) $ と連分数を用いて定義され、ガウス写像 $ \alpha(x) = \{1/x\} $ を含む関数方程式を満たすウィルトン関数 $ \mathcal{W}(x) $ の深い関係を確立すること。
• $ \mathcal{W}(x) $ の局所的挙動とその原始関数 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $ を分析し、$ A $ の微分可能性が $ \Upsilon $ の微分可能性に帰着されることを示すこと。
• 関数方程式と連分数展開の平均値解析を用いて、ウィルトン、ラ・ブレテッシュ、テネンバウムの定理を精緻化し再証明すること。
• 連分数展開の分母 $ q_k $ を含む級数の収束に基づいて、$ A(\lambda) $ の微分可能点集合を特徴づけること。

提案手法

• 区間 $ (0,1) $ の $ x $ について、連分数展開を用いてウィルトン関数 $ \mathcal{W}(x) $ を定義し、関数方程式 $ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $ を満たすことを示す。
• 原始関数 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $ を導入し、$ 0 < \lambda < 1 $ に対して $ A(\lambda) = \rho(\lambda) - \frac{\Upsilon(\lambda)}{2\lambda} $ という重要な恒等式を確立する。ここで $ \rho $ は連続的かつ無理数において微分可能である。
• 関数方程式を用いて、連分数近似の分母に基づく区間上で $ \mathcal{W} $ と $ \Upsilon $ の再帰的関係を導出する。
• 平均値推定とガウス写像のエルゴード性を用いて、有理数および特殊な無理数（例：ウィルトン＝クレマー数）の近傍における $ \Upsilon $ の挙動を分析する。
• メリン変換およびコサインフーリエ変換の技法を用い、$ A(\lambda) $ を除数関数 $ \tau(n) $ のような算術的関数と関連づけ、近似関数方程式を導出する。
• 関数 $ \Upsilon $ の連続性モジュラスを確立し、級数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ の収束を用いて微分可能点の集合を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的自己相関関数 $ A(\lambda) $ が微分可能な正の実数 $ \lambda $ はどれか？
• RQ2 $ A(\lambda) $ の微分可能性は、$ \lambda $ の連分数展開、特にその近似分数の分母 $ q_k $ の成長とどのように関係するか？
• RQ3 連分数を用いて定義され、$ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $ を満たすウィルトン関数 $ \mathcal{W}(x) $ は、$ A(\lambda) $ の微分可能性を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $ の有理数および無理数近傍における挙動は、$ A(\lambda) $ の微分可能性をどのように決定するか？
• RQ5 $ \lambda $ の連分数展開において、級数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ が収束するための正確な条件は何か？ そしてそれは $ A(\lambda) $ の微分可能性とどのように関係するか？

主な発見

• $ A(\lambda) $ が正の実数 $ \lambda $ で微分可能であるための必要十分条件は、$ \lambda $ が無理数であり、かつ級数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ が収束することである。ここで $ q_k $ は $ \lambda $ の連分数近似の分母である。
• $ A(\lambda) $ の微分可能性は、ガウス写像に関連する関数方程式を満たすウィルトン関数 $ \mathcal{W}(x) $ の原始関数 $ \Upsilon(x) $ の挙動によって完全に決定される。
• $ \Upsilon(x) $ は $ (0,1) $ 上で連続であり、無理数 $ x $ で微分可能であることは、級数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ の収束と同値である。
• 有理数の近傍では $ \Upsilon(x) $ は制御された振動を示し、その連続性モジュラスは $ \log q_{k+1}/q_k $ を含む級数の収束によって上界で抑えられる。
• $ \lambda = 0 $ では $ A(\lambda) $ は右から微分可能ではなく、$ \lambda \to 0^+ $ のとき $ A(\lambda) \sim \frac{1}{2} \lambda \log(1/\lambda) $ という漸近的挙動を示す。
• 関数方程式 $ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $ は、ウィルトン関数を定義する上で中心的であり、微分可能性問題を連分数力学の研究に還元可能である。