[論文レビュー] Sur l'existence d'une prescription d'ordre naturelle projectivement invariante

Martin Bordemann|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、多様体上の密度バンドル間の微分作用素に対する、射影的に不変で自然な順序付け規則の存在を証明する。トーションのない接続を $a$-密度バンドルに射影的に不変な方法で上げ、等変かつ発散がゼロの対称テンソル場を用いることで、射影変換に対して不変である一意的で自然な量子化写像を確立する。

ABSTRACT

P.Lecomte has proposed to take into account the covariant derivatives used to build ordering prescriptions for the naturality of transformation properties and has conjectured that there exists an natural ordering prescription for differential operators of any orders between density bundles which in addition is invariant under projective changes of the covariant derivatives. We prove this conjecture by constructing a projectively invariant lift of a torsion-free connexion to a torsion-free connexion on (the positive part of) the total space of the bundle of all $a$-densities for nonzero $a$, by lifting the symbols in a projectively invariant way (they turn out to be in bijection to the space of all $ eal^+$-equivariant divergence-free symmetric tensor fields on the total space), and by using the standard ordering procedure (`all the covariant derivatives to the right') on the total space. For Ricci-flat manifolds we show that this ordering prescription coincides --with the appropiate replacements-- with an explicit formula in $ eal^m$ obtained by Duval, Lecomte and Ovsienko.

研究の動機と目的

• P. Lecomteが提起した予想、すなわち密度バンドル間の微分作用素に対する自然かつ射影的に不変な順序付け規則の存在の解決。
• 標準的な順序付け手順の改善として、局所微分同相写像の下での順序付け規則の自然な変換性の定式化。
• $a \neq 0$ の場合に、多様体上のトーションのない接続を $a$-密度バンドルの全空間に射影的に不変な方法で上げること。
• 射影的に不変な記号と $\mathbb{R}^+$-等変かつ発散がゼロの対称テンソル場との間の全単射の確立。
• リッチ平坦な場合に、得られる順序付け規則がDuval, Lecomte, Ovsienkoらの既知の公式と一致することの示唆。

提案手法

• 多様体 $M$ 上のトーションのない接続 $\nabla$ を、$a \neq 0$ の場合の $a$-密度バンドルの全空間にトーションのない接続へと上げる。
• 上記の接続に対して、標準的な「すべての共変微分を右に寄せる」順序付け手順を適用し、記号から微分作用素を定義する。
• 微分作用素の記号を、$a$-密度バンドルの全空間上での $\mathbb{R}^+$-等変かつ発散がゼロの対称テンソル場として特徴付ける。
• 元の接続の射影変換の下での不変性を示すことにより、この構成が自然かつ射影的に不変な順序付け規則をもたらすことを証明する。
• 得られる規則が一意的であり、リッチ平坦な場合にDuval, Lecomte, Ovsienkoらの明示的公式と一致することを示す。
• 表現論および自然バンドルの理論を用いて、接続の自然なアップライティングの一意性と記号空間の構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーションのない接続の射影変換に対して不変である自然な順序付け規則が、密度バンドル間の微分作用素に対して存在するか？
• RQ2 多様体上のトーションのない接続を、$a$-密度バンドルに射影的に不変な方法で上げることは可能か？
• RQ3 射影的に不変な微分作用素に対応する記号空間の正確な幾何的構造は何か？
• RQ4 提案された順序付け規則は、既知の文献における公式（特にリッチ平坦な場合）とどのように関係しているか？
• RQ5 自然性と射影的不変性の制約の下で、得られる順序付け規則は一意的か？

主な発見

• この論文は、密度バンドル間の微分作用素に対する一意的で自然かつ射影的に不変な順序付け規則の存在を証明する。
• この構成は、$a \neq 0$ の場合に $a$-密度バンドルの全空間へのトーションのない接続の射影的に不変なアップライティングに依存する。
• 微分作用素の記号が、$a$-密度バンドルの全空間上での $\mathbb{R}^+$-等変かつ発散がゼロの対称テンソル場と全単射であることが示される。
• リッチ平坦多様体の場合、提案された順序付け規則は、$\mathbb{R}^m$ に対してDuval, Lecomte, Ovsienkoらが導出した明示的公式と一致する。
• 表現論的解析により、接続の自然なアップライティングの族の一意性が確立され、自由パラメータが $\mu, \nu, \rho$ の三つに限ることが示される。
• 標準的な「すべての共変微分を右に寄せる」手順が、上記の接続に適用された場合、射影的に不変な量子化写像が得られることを確認する。