[論文レビュー] Sur l'énumération de structures discrètes, une approche par la théorie des relations

Djamila Oudrar|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次および4次の離散的可分構造を列挙するための関係理論的手法を開発し、二項関係構造のクラスに対して閉形式の母関数を導出する。生成関数 $ S_k $ に対して2次関数方程式を確立し、$ S_k $ が $ (4^k - 1)S_k^2 + (2^k x - 1)S_k + 2^k x = 0 $ を満たすことを証明する。明示的な解から、それぞれの順序1〜4に対し、2、16、224、3904という正確な構造数が得られる。

ABSTRACT

Theory of relations is the framework of this thesis. It is about enumeration of finite structures. Let $\mathscr C$ be a class of finite combinatorial structures, the \emph{profile} of $\mathscr C$ is the function $φ_{\mathscr C}$ which count, for every $n$, the number of members of $\mathscr{C}$ defined on $n$ elements, isomorphic structures been identified. The generating function for $\mathscr C$ is $\mathcal H_{\mathscr C}(X):=\sum_{n\geqq 0}φ_{\mathscr C}(n)X^n$. Many results about the behavior of the function $φ_{\mathscr C}$ have been obtained. Albert and Atkinson have shown that the generating series of the profile of some classes of permutations are algebraic. we show how this result extends to classes of ordered binary structures using the notions of theory of relations. This is the subject of the first part of this thesis. The second part is concerned with the notion of minimality. An hereditary class of finite structures is minimal if it is infinite and every proper hereditary subclass is finite. We show, in particular, that ind-minimal classes are wqo ages and their number is the continuum. The last part is motivated by the surprising phenomenon of the \emph{jump} observed in the behavior of the profile of hereditary classes of finite structures. We show that the profile of an hereditary classe made of ordered structures which have finite monomorphic decomposition is a polynomial. We also show that if the profile of a hereditary class of finite ordered binary structures is not bounded by a polynomial then it is at least exponential. This result generalizes the result obtained by Balogh, Bollobás and Morris (2006) for ordered graphs.

研究の動機と目的

• 有限の順序を持つ離散的可分構造を列挙するための関係理論的枠組みを構築すること。
• 型 $ k $ の二項関係構造のクラス $ \mathscr{S}_k $ の生成関数 $ S_k $ を特徴付けること。
• 生成関数 $ S_k $ に対して閉形式の表現を導出し、組合せ的分解と再帰的推論によってその妥当性を検証すること。
• 可分分解の概念を用いて、置換クラスの代数的構造をより広範な関係系へと拡張すること。
• 列挙を臨界順序と置換グラフ（特に次元2の臨界順序およびSchmerl–Trotterの臨界順序）と結びつけること。

提案手法

• 型 $ k $ の $ r_i $-可分解構造に基づく分解フレームワークを用い、$ r_i $ は型 $ k $ の $ 4^k $ 個の基本関係を走査する。
• 可分構造の和集合および和の閉包性を応用し、生成関数の間の再帰的関係を導出する。
• 母関数の恒等式を用いる：$ S_k = 2^k x + S_k \sum_{i=1}^{4^k} S^i_k $、ここで $ S^i_k = 2^k x + S_k \sum_{j \neq i} S^j_k $ である。
• 得られた連立方程式を解き、$ S_k $ に関する2次方程式を導出し、二次方程式の解の公式を用いて閉形式の解を得る。
• 母関数を展開し、係数を明示的な個数（例：順序3では224）と一致させることで解の妥当性を検証する。
• Schmerl–Trotter二部グラフ $ G_1 $ の部分グラフのグラフ論的表現を用い、二進語で構造を表現・列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序 $ n $ および型 $ k $ の可分二項関係構造の個数の母関数は何か？
• RQ2 可分関係の構造はどのように分解可能であり、その生成関数の再帰的関数方程式はどのように得られるか？
• RQ3 小規模な順序（例：3および4）における可分構造の正確な個数は何か？ また、それらはどのように小さな構成要素の組み合わせから生じるか？
• RQ4 次元2の臨界順序およびそれに関連する置換グラフは、可分構造の列挙とどのように関係するか？
• RQ5 遺伝的ベルデッドネスの概念を用いて、置換クラスの代数的性質をより広範な関係系へ一般化できるか？

主な発見

• 型 $ k=1 $ の生成関数 $ S_1 $ は $ 3S_1^2 + (2x - 1)S_1 + 2x = 0 $ を満たし、解は $ S_1 = \frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 28x + 4x^2}}{6} $ である。
• $ k=1 $ の場合、級数展開により正確な個数が得られる：順序1では2構造、順序2では16、順序3では224、順序4では3904。
• 一般の $ k \geq 1 $ に対して、生成関数 $ S_k $ は $ (4^k - 1)S_k^2 + (2^k x - 1)S_k + 2^k x = 0 $ を満たし、平方根を含む閉形式の解が得られる。
• $ S_k $ の解は $ S_k = \frac{1 - 2^k x - \sqrt{1 - 2^{k+1}(2 \cdot 4^k - 1)x + 2^{2k}x^2}}{2(4^k - 1)} $ であり、代数的性が裏付けられる。
• $ r_i $-可分解構造の数は $ 4^k $ 個の基本関係に従って増加し、同型の重複を避けるために分解規則が除外する。
• 本稿では、Schmerl–Trotterグラフ $ G_1 $ の部分グラフと二進語の間の全単射を確立し、語列による構造の表現と列挙を可能にする。