[論文レビュー] Sur la catégorie des bimodules de Soergel

Nicolás Libedinsky|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コクセター系 $(W,\mathcal{S})$ に関連するサーベルのビモジュール圏 $\mathbf{B}$ における準同型空間の組み合わせ的記述を提供し、多項式環上の右加群としての基底—「ライトリーブス基底」と呼ばれるもの—を確立する。主な貢献は、この基底が正規化可能であり、階数次元を明示的に計算できることを示したことにより、サーベルの同値性を介して、BGG圏 $\mathcal{O}$ の主ブロック $\mathcal{O}_0$-proj における準同型の明示的記述が得られることである。

ABSTRACT

The Soergel category B of a Coxeter system (W,S) is a bimodule category over a polynomial algebra on which W acts. It's a categorification of the Hecke Algebra of (W,S). In this article we give a combinatorial description of morphism spaces in B. As a corollary, we give an analogous description of the morphisms in O_0-proj, where O_0 is the principal block of the BGG category O. ----- La catégorie B de Soergel d'un système de Coxeter (W,S) est une catégorie de bimodules sur une algèbre de polynômes sur laquelle W agit. C'est une catégorification de l'algèbre de Hecke de (W,S). Dans cet article nous donnons une description combinatoire des espaces de morphismes dans B. En corollaire, on obtient une description analogue des morphismes dans O_0-proj, où O_0 est le bloc principal de la catégorie O de BGG.

研究の動機と目的

• コクセター系 $(W,\mathcal{S})$ に関連するサーベルのビモジュール圏 $\mathbf{B}$ における準同型空間の組み合わせ的かつ明示的な記述を提供すること。
• 右多項式環上の加群としての準同型空間に、名前が「ライトリーブス基底」と呼ばれる正規化可能な基底を構成し、その存在を証明すること。
• この基底を用いて、BGG圏 $\mathcal{O}$ の主ブロック $\mathcal{O}_0$-proj における準同型を明示的に計算すること。ここで、$\mathcal{O}_0$-proj と圏 $\mathbf{B}^\mathbb{C}$ 間のサーベルの同値性が利用される。

提案手法

• 多項式環 $R$ 上の $W$-作用を忠実な反復表現によって持つサーベル・ビモジュールの圏 $\mathbf{B}$ を定義する。
• ヘッケ代数における積 $(1+T_{s_1})\cdots(1+T_{s_n})$ の再帰的性質を模倣する、$\mathbf{B}$ 内の準同型の再帰的構成として「ライトリーブス基底」(BFL) を導入する。
• 群 $W$ 内の既約表現に関する再帰的帰納的構成を用い、トゥールのような関係と双対基底を介して準同型を定義する。
• サーベルの定理—すなわち、圏 $\mathbf{B}$ がヘッケ代数 $\mathcal{H}$ をカテゴライズすること、および $\mathbf{B}$ のグロテンディーク群が写像 $\varepsilon$ を通じて $\mathcal{H}$ に同型であること—を活用する。
• 標準的写像 $\mathrm{Hom}_{(R,R)}(B,B') \otimes_R \mathbb{C} \simeq \mathrm{Hom}_C(B\otimes_R \mathbb{C}, B'\otimes_R \mathbb{C})$ を用いて、$\mathbf{B}$ 内の準同型空間と余不変代数 $C = R/R_+^W$ 間の明示的同型を確立する。
• Corollary 4.2 における階数次元の公式を用いて、ライトリーブス基底が $\mathrm{Hom}_{(R,R)}(B,B')$ を右 $R$-加群として自由基底をなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サーベルのビモジュール圏 $\mathbf{B}$ における準同型空間は、正規化可能な基底を用いて組み合わせ的に記述可能か？
• RQ2 トゥールのような関係による再帰的構成によって得られるライトリーブス基底は、右 $R$-加群としての準同型空間の自由基底をなすか？
• RQ3 $\mathbf{B}$ 内の準同型の組み合わせ的記述を用いて、BGG圏 $\mathcal{O}$ の主ブロック $\mathcal{O}_0$-proj 内の準同型を明示的に計算可能か？

主な発見

• ライトリーブス基底 (BFL) は、多項式環 $R$ 上の右加群として、圏 $\mathbf{B}$ 内の準同型空間 $\mathrm{Hom}_{(R,R)}(B,B')$ に自由基底をなすことが証明された。
• 準同型空間の階数次元は、Corollary 4.2 で述べられるように、積 $(1+T_{s_1})\cdots(1+T_{s_n})$ の $1$ の係数で与えられる。
• BFL の構成は明示的な再帰的であり、ヘッケ代数における積の再帰的性質を模倣しており、この代数的公式のカテゴライゼーションを提供する。
• 圏 $\mathcal{O}_0$-proj 内の準同型空間は、同型 $\mathrm{Hom}_{(R,R)}(B,B') \otimes_R \mathbb{C} \simeq \mathrm{Hom}_C(B\otimes_R \mathbb{C}, B'\otimes_R \mathbb{C})$ を介して明示的に記述される。ここで $C = R/R_+^W$ は余不変代数である。
• $\mathrm{Hom}_{(R,R)}(B,B')$ 内の基底要素は、$x_{\overline{i}}^g f_\alpha((1\otimes x_{\overline{i}^{c}(\mathrm{op})}^d)\cdot m)$ を含む写像を介して構成され、$R$ 上の基底をなす。
• この結果により、$\mathcal{O}_0$-proj 内の準同型の構造が、$\mathbf{B}$ 内の BFL の組み合わせ論によって完全に決定され、新たな明示的計算ツールが得られる。