[論文レビュー] Sur la cohomologie de certains espaces de modules de fibrés vectoriels

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Feb 21, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、コンpactなリーマン面上の安定なベクトル束のモジュライ空間の有理コホモロジー代数が、ユニバーサルバンドルのチャーン類のクネンペクト成分によって生成されることを、簡潔なコhomologicalな証明で示している。エリンズルトとストロームの対角法を用い、K理論におけるリーマン・ロッホ定理を適用することで、特に Ext^i (i ≥ 2) の消失が成り立つような弱い条件下で、コホモロジーが代数的であることを確立している。

ABSTRACT

Let M be a moduli space of stable vector bundles on a curve with rank and degree fixed and coprime. We give a simple proof that the rational cohomology of M is generated by the Kunneth components of the Chern classes of the universal bundle. The proof applies also to some moduli spaces of vector bundles over higher-dimensional varieties.

研究の動機と目的

• 安定なベクトル束のモジュライ空間の有理コホモロジー代数の生成に関する簡単でコホモロジー的な証明を提供すること。
• 対角構成に基づく新規な手法を用いて、[A–B]の結果を一般化すること。
• 適切な条件下で、モジュライ空間のコホモロジーが代数的であることを示すこと、すなわち、有理コホモロジー類が代数的サイクルから生じることを示すこと。
• Poincaréバンドルのチャーン類のクネンペクト成分によってコホモロジー代数が生成される一般の基準を確立すること。
• 条件 (iii) における Ext の消失が、特にファノ3次元多様体や有理被覆面の文脈において、モジュライ空間の構造に与える影響を検討すること。

提案手法

• H^*(M × M, Q) における対角類 δ とそのクネンペクト分解 p*μi · q*νi を用い、νi が H*(M, Q) を生成することを示す。
• E がユニバーサルバンドルであるとき、X × M × M 上の層 H = Hom(p1*E, p2*E) を構成する。
• ハイパコホモロジーのスペクトル系列を適用し、Rπ_*H をベクトルバンドルの複体 K• で表現する。ここで K0 → K1 は Ext^0 と Ext^1 を捉える。
• ポルトゥアスの公式を用いて、非特異部分集合 D（対角 Δ に同型）の類を c_m(K1 - K0) = c_m(-π!H) として表現する。これは K理論におけるチャーン類である。
• リーマン・ロッホ定理を適用し、ch(π!H) = π_*[r*TD(C) · ch(H)] と表現することで、π!H のチャーン類が c_i(E) のクネンペクト成分によって生成される Q-代数に属することを示す。
• 重要な補題を用いて、π!H のチャーン類が E のチャーン類のクネンペクト成分の積であることを示し、これによりコホモロジーがこれらの成分によって生成されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な層のモジュライ空間の有理コホモロジー代数が、ユニバーサルバンドルのチャーン類のクネンペクト成分によって生成される条件は何か？
• RQ2 エリンズルトとストロームの対角法は、ベクトル束のモジュライ空間の文脈において、どのようにしてコホモロジーの生成を証明するために適応可能か？
• RQ3 i ≥ 2 に対して Ext^i(E,F) の消失が、コホモロジーが代数的であり、チャーン類によって生成されることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 有理被覆面やファノ3次元多様体上のモジュライ空間のコホモロジーが、この方法によって代数的であることが示せるか？
• RQ5 K理論におけるリーマン・ロッホ定理は、どのようにしてユニバーサルバンドルの不変量を用いて対角類を表現できるか？

主な発見

• 有理コホモロジー代数 H*(M, Q) は、Poincaréバンドル E のチャーン類のクネンペクト成分によって生成される。
• H*(M × M, Q) における対角類 δ は、ポルトゥアスの公式により c_m(-π!H) として表現され、ここで H = Hom(p1*E, p2*E) である。
• π!H のチャーン類は、c_i(E) のクネンペクト成分によって生成される Q-代数に属する。これは、M のコホモロジーがこれらの成分によって生成されることを示唆する。
• Ext の消失条件 (iii) の下では、M のコホモロジーは代数的である：CH*(M) ⊗ Q → H*(M, Q) のサイクル類写像は、環としての同型である。
• X = P^2 の場合、エリンズルトとストロームがベイリンソンのスペクトル系列を用いて示したように、結果は整数コホモロジーへの拡張が可能であり、ねじれのない性質が成り立つ。
• K3表面をアンチCanonical系に含むファノ3次元多様体の場合は、Ext 条件が、モジュライ空間が K3 表面上のシンプレクティックモジュライ空間のラグランジュ部分多様体に同型写像をもつことを示唆する。