[論文レビュー] Sur la dynamique unidimensionnelle en régularité intermédiaire

Bertrand Deroin, Victor Kleptsyn+1 more|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Jun 3, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、確率的技法を用いて、$C^1$ と $C^2$ の間の中程度の正則性（中間正則性）を持つ一様な微分同相写像群および擬群について、新たな剛性結果を確立する。Denjoyの定理とアーベル群に対するKopellの補題を一般化し、Sackstederの定理を $C^1$ フォリエーションへ拡張し、定常測度の構造を解明することで、中間クラスにおけるTsuboiの予想された剛性を裏付ける。

ABSTRACT

Using probabilistic methods, we prove new rigidity results for groups and pseudo-groups of diffeomorphisms of one dimensional manifolds with intermediate regularity class ({\em i.e.} between $C^1$ and $C^2$). In particular, we demonstrate some generalizations of Denjoy's Theorem and the classical Kopell's Lemma for Abelian groups. After that, these techniques are applied to the study of codimension 1 foliations. We obtain for instance several generalized versions of Sacksteder's Theorem in class $C^1$. We conclude with some remarks about the stationary measure.

研究の動機と目的

• 一様な多様体上の微分同相写像群および擬群の、中間正則性（$C^{1}$ から $C^{2}$）における剛性定理を確立すること。
• Denjoyの定理やKopellの補題といった古典的結果を、中間正則性の設定へ一般化すること。
• Sackstederの定理（codimension-1 フォリエーションにおける横断的測度の存在）を、新しい確率的技法を用いて $C^1$ のクラスへ拡張すること。
• 定常測度の構造とその中心化群および力学的剛性との関係を分析すること。
• Kopellの補題およびDenjoyの定理に対する $C^{1+ au}$ の反例が、正則性の観点で最適であるかどうかを確認すること。

提案手法

• 主に確率的解析および微分同相写像群上の確率ウォークを用いた確率的技法の適用。
• 微分同相写像の確率的積の収縮性を用いて、グローバルな力学的挙動を導出すること。
• エルゴディック理論およびリャプノフ指数解析の技法を用いて、不変測度および定常測度を研究すること。
• 中間正則性クラスにおける微分同相写像の中心化群に対する確率的アプローチを導入すること。
• Sobolev空間 $H^{1/2}$ を用いた解析を用いて、Godbillon-Vey 不変量の定義域を正当化し、中間正則性の閾値を裏付けること。
• 決定論的および確率的技法を組み合わせて、円周上の微分同相写像群およびその作用を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転数が無理数である円周上の微分同相写像に関するDenjoyの定理は、中間正則性クラスへ一般化可能か？
• RQ2 Kopellの補題が $C^2$ 微分同相写像の中心化群に関するものであるが、$C^{1+ au}$ や $C^1$ の設定では、その成立・不成立はどの程度成立するか？
• RQ3 codimension-1 フォリエーションにおける横断的測度の存在に関するSackstederの定理は、どのように $C^1$ 正則性へ拡張可能か？
• RQ4 中間正則性における群作用の力学的挙動において、定常測度は果たす役割は何か？
• RQ5 既知の $C^{1+ au}$ の反例（Kopellの補題およびDenjoyの定理に対する反例）は、正則性の観点で最適であるか？

主な発見

• 本稿は、回転数が無理数である $C^{1+ au}$ の円周上微分同相写像について、やや弱い条件下で回転写像への位相的共役が成立することを証明する一般化されたDenjoyの定理を確立する。
• アーベル群の $C^{1+ au}$ 微分同相写像に対して、一般化されたKopellの補題を確立し、自明な中心化群が自由作用を意味することを示す。
• codimension-1 フォリエーションの $C^1$ クラスにおいて、Sackstederの定理の一般化版を取得し、ある種の力学的仮定の下で横断的測度の存在を証明する。
• PixtonおよびTsuboiによる $C^{1+ au}$ のKopellの補題に対する反例が、正則性の観点で最適であることが確認され、より高い正則性クラスでは同種の反例は存在しない。
• 定常測度の解析から、中間正則性の設定において、これらの測度が確率的積の下での不変または準不変測度の存在と密接に関係していることが明らかになった。
• Godbillon-Vey 不変量が $C^{3/2+ au}$ のクラスで正しく定義され、連続的であることが示され、$C^{3/2}$ がコhomological 不変量の自然な閾値であることが裏付けられた。