[論文レビュー] Sur la réduction des représentations cristallines de dimension 2 en poids moyens

Laurent Berger, Christophe Breuil|ArXiv.org|Apr 19, 2005

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ひとこと要約

本稿は、Hodge-Tate重量が $0$ と $k-1$ である2次元のクリスタリン表現の mod $p$ 異常化を、$k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ に対して計算し、$p$-進ヘッケ固有値 $a_p$ の $p$-進付値に応じて還元型を完全な公式で特定する。$0 < \mathrm{val}(a_p) < 1$ のとき、還元はタイプ Steinberg の表現 $\mathrm{ind}(\omega_2^{k-p})$ であり、$\mathrm{val}(a_p) = 1$ のとき、特定の mod $p$ 特徴を持つ非可約で非分解な表現であることを証明し、[Bre03b] の予想を完成させる。

ABSTRACT

We compute the reduction modulo $p$ of 2-dimensional crystalline representations whose Hodge-Tate weights are 0 and $k-1$ with $k \in \{p+2,...,2p-1\}$.

研究の動機と目的

• Hodge-Tate重量が $0$ と $k-1$ である2次元クリスタリン表現の mod $p$ 異常化の分類を、特に $0 < \mathrm{val}(a_p) \leq 1$ の場合に完全に達成すること。
• 前回は $\mathrm{val}(a_p) > 1$ の場合にのみ証明済みであった、[Bre03b] の予想の残りのケース、$k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ および $\mathrm{val}(a_p) \leq 1$ の場合を解決すること。
• $(\varphi,\Gamma)$-モジュールおよびワッチモジュールの理論を用いて、$p$-進ラングランズ対応と mod $p$ 異常化の整合性を確立すること。
• フォンテーヌ＝ラフィールおよび [BLZ04] の結果を拡張する、$k$ と $a_p$ の関数として $\overline{V}_{k,a_p}$ の一様な公式を確立すること。

提案手法

• フィルトレーテッド $\varphi$-モジュール $D_{k,a_p}$ からクリスタリン表現 $V_{k,a_p}$ を構成するために、$\varphi$-モジュールの理論およびワッチモジュールを用いる。
• $\psi$-作用素を $\varprojlim_{\psi} D^\sharp(V)$ の構成に適用し、$p$-進ラングランズ対応を介して mod $p$ 異常化を分析する。
• $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ における $p$-進ラングランズ対応を用い、$V_{k,a_p}$ を適切な表現 $\Pi_{k,a_p}$ に結びつけ、mod $p$ 異常化と整合することを示す。
• $(\varphi,\Gamma)$-モジュールの理論と関手 $D^\sharp$ を用い、$V_{k,a_p}$ の還元を $\varprojlim_{\psi} D^\sharp(\overline{V}_{k,a_p})$ の構造と関連付ける。
• [Col04] および [BB04] の結果を応用し、$p$-進ラングランズ対応と mod $p$ 異常化の整合性を裏付ける。
• シュールの補題と $\Gamma$-不変性を用いて、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$-不変写像の存在から、$\varprojlim_{\psi} D^\sharp$ モジュール間の同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hodge-Tate重量が $0$ と $k-1$ である2次元クリスタリン表現の mod $p$ 異常化は、$k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ および $0 < \mathrm{val}(a_p) \leq 1$ のときどのように定まるか？
• RQ2 $p$-進ラングランズ対応は、これらの表現に対して mod $p$ 異常化とどのように作用するか？
• RQ3 [Bre03b] の $\overline{V}_{k,a_p}$ に関する予想の公式が、$\mathrm{val}(a_p) = 1$ および $k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ の場合に証明可能か？
• RQ4 $\mathrm{val}(a_p) < 1$ および $k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ のとき、$\overline{V}_{k,a_p}$ の構造は何か？
• RQ5 $\overline{V}_{k,a_p}$ は $V_{k,a_p}$ の $\mathcal{O}_L$-格子の選び方に依存しないか？また、mod $p$ 特徴の観点からどのように表現されるか？

主な発見

• $k = p+2$ および $1 > \mathrm{val}(a_p) > 0$ のとき、還元 $\overline{V}_{k,a_p}$ は二次的特徴 $\omega_2^2$ の誘導表現 $\mathrm{ind}(\omega_2^2)$ に同型である。
• $k = p+2$ および $\mathrm{val}(a_p) = 1$ のとき、$\overline{V}_{k,a_p}$ は特徴 $\omega \mu_\lambda$ と $\omega \mu_{\lambda^{-1}}$ を持つ非可約で非分解な拡張であり、$\lambda$ は方程式 $\lambda^2 - \overline{a_p/p}\lambda + 1 = 0$ の根である。
• $k \in \{p+3, \dots, 2p-1\}$ および $1 > \mathrm{val}(a_p) > 0$ のとき、$\overline{V}_{k,a_p} \simeq \mathrm{ind}(\omega_2^{k-p})$ であり、タイプ Steinberg の表現である。
• $k \in \{p+3, \dots, 2p-1\}$ および $\mathrm{val}(a_p) = 1$ のとき、$\overline{V}_{k,a_p} \simeq \begin{pmatrix} \omega^{k-2}\mu_\lambda & 0 \\ 0 & \omega\mu_{\lambda^{-1}} \end{pmatrix}$ であり、$\lambda = \overline{a_p/p} \cdot (k-1)$ である。
• $\overline{V}_{k,a_p}$ は $V_{k,a_p}$ の $\mathcal{O}_L$-格子の選び方に依存せず、$\overline{V}_{k,a_p}$ のwell-definednessを確認する。
• 結果として、[Bre03b] の予想は、すべての $k \in \{p+2, \dots, 2p-1\}$ に対して完全に証明され、$\mathrm{val}(a_p)$ のすべてのケースがカバーされた。