[論文レビュー] Sur la structure des ensembles de Fatou p-adiques

Juan Rivera‐Letelier|ArXiv.org|Dec 8, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、p進射影直線が完全に分離されているため連結成分が存在しないという点を踏まえ、'解析的成分'（open affinoid の和集合として定義される）を導入することで、p進Fatou集合内の周期的成分の動的分類を確立した。p進設定においても、古典的な複素力学系の二分法（吸引的basin か準周期的領域の成分か）が成り立つことを示し、アフィノイド集合と有理写像の不変力学の新しい枠組みを用いてこれを達成した。

ABSTRACT

A classification of the periodic components of the Fatou set of $p$-adic rational maps. Each such periodic component is either an immediate attracting basin or an open affinoid, where the dynamics is quasi-periodic (the $p$-adic analogues of Siegel discs and Herman rings.) The main tool is a fixed point theorem for connected subsets of Berkovich's projective line (or p-adic hyperbolic space).

研究の動機と目的

• p進力学系における連結成分の欠如（$\mathbb{P}(\mathbb{C}_p)$ が完全に分離していることによる）を解決する。
• 開アフィノイドに基づく解析的成分を用いて、連結成分の適切な置き換えを定義する。
• p進Fatou集合の周期的成分を、複素の場合と同様に分類する。
• すべての周期的成分が、即時吸引的basin か準周期的領域の成分であることを証明する。
• すべてのFatou成分が前周期的である（つまり、漂走成分が存在しない）という非脱出予想を支持する。

提案手法

• Fatou集合内での開アフィノイドの和集合として定義される'解析的成分'を導入し、連結成分の代わりに用いる。
• Fatou集合の成分を、$F(R)$ に含まれる開アフィノイド $X$ であって、$\bigcup_{n \geq 0} R^n(X)$ が $\mathbb{P}(\mathbb{C}_p)$ の少なくとも3点を欠くようなものの和集合として定義する。
• $\mathbb{P}(\mathbb{C}_p)$ 上の有理写像の下でのアフィノイド集合およびその力学の理論を適用する。
• L.C. Hsia が確立した、Fatou成分上で一様にリプシッツ連続であることを用いる。
• 有理写像が境界で次数 ≥2 である場合に、環状領域のモジュラスがどのように増加するかを示す重要な補題を用いる。
• 環状領域でゼロや極を持たない有理関数の構造に着目し、$|R(z)| = a|z|^d$ であり、$d \geq 2$ のとき像の環状領域が厳密に拡大されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結成分が存在しないp進力学系において、周期的成分に対する意味のある分類を確立できるか？
• RQ2 すべてのp進Fatou集合の周期的成分は、即時吸引的basin か準周期的領域の成分のどちらかであるか？
• RQ3 Sullivanの定理に類似して、p進Fatou集合に漂走成分が存在しないという主張は成り立つか？
• RQ4 有理写像の反復において、境界で次数 ≥2 であるとき、環状領域のモジュラスはどのように変化するか？
• RQ5 有理写像のアフィノイド集合上での力学を用いて、$\mathbb{P}(\mathbb{C}_p)$ 上のFatou成分を分類できるか？

主な発見

• p進Fatou集合のすべての周期的成分は、即時吸引的basin か準周期的領域の成分のどちらかであり、複素力学系の分類のp進版を確立した。
• 有理写像 $R$ による像環状領域 $C'$ のモジュラスは、$\mathrm{mod}(C') \geq \mathrm{mod}(C) + \min\{m, \mathrm{mod}(C)\}$ を満たす。ここで $m > 0$ は $r$ に依存しない定数である。これは境界での次数が2以上の場合に成り立つ。
• 有理関数 $R$ が環状領域 $\{r_1 < |z| < r_0\}$ 内でゼロや極を持たない場合、$|R(z)| = a|z|^d$ であり、$R$ はこの領域を $\{a r_1^d < |z| < a r_0^d\}$ に写す。
• 境界成分の像が像の環状領域の境界に写されるため、力学が環状構造とモジュラス増加を保つ。
• 証明では、$R(C_0)$ が像Fatou集合の成分を含み、$R$ が境界で次数 ≥2 であれば、モジュラスが $\min\{m, \mathrm{mod}(C)\}$ 以上増加することを示した。
• 非脱出予想（すべてのFatou成分が前周期的である）は、分類結果と同値であり、p進設定において漂走成分が存在しないことを示唆する。