[論文レビュー] Sur le groupe de Brauer transcendant

Jean-Louis Colliot-Thélène, Alexei N. Skorobogatov|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特性がゼロの体 $k$ 上の滑らかで射影的多様体 $X$ のブラウ어群から $\overline{k}$ 上のブラウア群のガロア不変部分群への自然な写像の余核の有限性を確立する。ブラウア群、ピカール群、数的同値関係に関する交点形式の間の相互作用を用いて、特に数体の仮定の下で、この有限余核の位数および指数に対する明示的な上限が得られる。応用として、K3多様体や曲線の積に対して特に簡潔な結果が得られる。

ABSTRACT

For a smooth and projective variety X over a field k of characteristic zero we prove the finiteness of the cokernel of the natural map from the Brauer group of X to the Galois-invariant subgroup of the Brauer group of the same variety over an algebraic closure of k. Under further conditions on k, e.g. over number fields, we give estimates for the order of this cokernel. ---- Soit X une variété projective et lisse sur un corps k de caractéristique zéro. Le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants, sous le groupe de Galois absolu de k, du groupe de Brauer de la même variété considérée sur une clôture algébrique de k. Nous montrons que le quotient est fini. Sous des hypothèses supplémentaires, par exemple sur k un corps de nombres, nous donnons des estimations sur l'ordre de ce quotient.

研究の動機と目的

• 特性がゼロの体上での滑らかで射影的多様体 $X$ に対して、自然な写像 $\mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(\overline{X})^\Gamma$ の余核の有限性を確立すること。
• 底体が数体であるなどの追加仮定の下で、この余核の位数および指数に対する有効な上限を与えること。
• 除数と1次元サイクルの数的同値関係に関する交点形式がブラウア群構造を制御する役割を明確にすること。
• この有限性結果を $\mathbb{Q}$ 上の有限生成体上の滑らかで準射影的多様体へ拡張し、シュマウエルの問いに肯定的に答えること。
• K3多様体や有理点を持つ曲線の積などの特定の多様体クラスに結果を応用し、上限が著しく単純化されることを示すこと。

提案手法

• 条件を満たすとき（例えば有理点の存在や $k$ が数体であるとき）に正確な複体 $\mathrm{Br}(X) \xrightarrow{\alpha} \mathrm{Br}(\overline{X})^\Gamma \xrightarrow{\beta} \mathrm{H}^2(k, \mathrm{Pic}(\overline{X}))$ を構成すること。
• ファンクター理論およびツェンの定理を用いて、$\beta$ の像が $X$ 内の任意の閉曲線に制限されたときに消えることを示し、第一の方法により有限性を導出すること。
• 可除部分群 $\mathrm{Br}^0(\overline{X})$ とクーマー列を含むスペクトル系列の議論を用いて、$\beta$ を接続準同型と解釈すること。
• 1次元サイクルの数的同値とホモロジー同値の一致を保証するリーベルマンの定理を用い、$\beta$ の像を $\mathrm{NS}(\overline{X})$ 上の交点形式の判別式群に関連付けること。
• 数的同値関係に関する $\mathrm{NS}(\overline{X})$ と $\mathrm{CH}_1(\overline{X})$ 間の交点形式の判別群の指数を用いて、余核の指数を上限すること。
• 両方の方法を組み合わせることで、余核の位数および指数について同等のが得られるが同一ではない推定値を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性がゼロの体上での滑らかで射影的多様体 $X$ に対して、写像 $\mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(\overline{X})^\Gamma$ の余核は有限か？
• RQ2 底体が数体であるとき、この余核の位数および指数に対して有効な上限を与えることができるか？
• RQ3 除数と1次元サイクルの数的同値関係に関する交点形式がブラウア群を制約する役割は何か？
• RQ4 この有限性結果は、$\mathbb{Q}$ 上の有限生成体上の滑らかで準射影的多様体へ拡張可能か？
• RQ5 K3多様体や有理点を持つ曲線の積などの特別な多様体クラスでは、上限はどのように単純化されるか？

主な発見

• 特性がゼロの体 $k$ 上の滑らかで射影的で、幾何的に整である任意の多様体 $X$ に対して、写像 $\alpha: \mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(\overline{X})^\Gamma$ の余核は有限である。
• $k$ が数体であるとき、余核の位数は、$\mathrm{NS}(\overline{X})$ と $\mathrm{CH}_1(\overline{X})$ 間の数的同値関係に関する交点形式の判別群の指数の積によって上限される。
• 余核の指数は、$\mathrm{NS}(\overline{X})$ 上の交点形式の判別群の指数の約数である。
• 有理点を持つK3多様体に対しては、余核は交点形式のネロン＝セベリ群の判別群の指数によって消える。
• この有限性結果は、$\mathbb{Q}$ 上の有限生成体上の滑らかで準射影的多様体へ拡張可能であり、シュマウエルの問いに肯定的に答えている。
• ファンクター理論とツェンの定理、スペクトル系列解析の二つの方法は、同等のが得られるが同一ではない上限を与える。両者とも交点形式の構造に依存している。