[論文レビュー] Sur le produit de variétés localement factorielles ou Q-factorielles

Samuel Boissière, Ofer Gabber+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、代数的閉体上の代数的多様体における局所的ファクタリアリティおよびQ-ファクタリアリティの点の集合が開集合であることを確立し、二つの局所的ファクタリアル（または体の条件のもとでのQ-ファクタリアル）多様体の積が、再び局所的ファクタリアル（またはQ-ファクタリアル）であることを証明する。主な貢献は、アーブァネーゼ多様体と反射的層を用いた位相的およびコホロロジー的証明であり、これらの性質が積に関して安定であるかどうかという長年の問いを解決する。

ABSTRACT

We show that the factorial and Q-factorial loci of algebraic varieties defined over an algebraically closed field are open, that products of locally factorial varieties are still locally factorial, and that this property remains true for Q-factorial varieties if the ground field is not the algebraic closure of a finite field.

研究の動機と目的

• 代数的閉体上の正則代数的多様体における局所的ファクタリアリティおよびQ-ファクタリアリティの点の集合が開であることを確立すること。
• 二つの局所的ファクタリアルまたはQ-ファクタリアル多様体の積が、再びファクタリアルまたはQ-ファクタリアルであるかどうかを調査すること。
• 特異点やモジュライ空間の文脈において、ファクタリアリティがファイバー積に関してどのように振る舞うかという代数幾何学における基礎的問いを解決すること。
• 幾何的ファクタリアリティや解消の仮定に依存しない、アーブァネーゼ多様体と反射的層を用いたコホモロジー的および幾何的証明を提供すること。
• 特異点の解消を必要としない証明戦略を用いて、ビンゲナーとフラーナーの結果をより広いクラスの多様体へと拡張すること。

提案手法

• 滑らかでない部分におけるPicard群とWeil divisor類群の同型性による局所的ファクタリアリティの特徴付けを用いる。
• 反射的層およびその双対性の理論を用いて、除集合的層の可逆性を分析する。
• 多様体のアーブァネーゼ多様体を用いて、除集合群の構造とその積における振る舞いを研究する。
• 曲線の積のPicard群がPicard群の積に同型であるのに対し、Weil類群にはPicard多様体間の準同型から生じる追加項が含まれることを活用する。
• 連接層が反射的（または局所自由）である点の集合の開性を用いて、ファクタリアリティの点の集合の開性を証明する。
• 底体が有限体の代数的閉包でない場合にQ-ファクタリアルの場合の除集合群が有限であることを示す結果を適用し、ねじれ性が有限性を意味することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則代数的多様体における局所的ファクタリアリティの点の集合は開かか？
• RQ2 二つの局所的ファクタリアル多様体の積は、再び局所的ファクタリアルか？
• RQ3 Q-ファクタリアル性は積に関して安定するか？ その場合、底体にどのような条件が必要か？
• RQ4 特異点の解消を仮定せずに、Q-ファクタリアル性の点の集合の開性を確立できるか？
• RQ5 曲線の積のWeil除集合群の構造は何か？ そして、Q-ファクタリアル性の失敗とどのように関係するか？

主な発見

• 代数的閉体上の中間正則代数的多様体における局所的ファクタリアリティの点の集合は開集合である。
• 代数的閉体上の中間正則代数的多様体の二つの局所的ファクタリアル多様体の積は、再び局所的ファクタリアルである。
• 正則代数的多様体におけるQ-ファクタリアリティの点の集合は開集合である。
• 底体が有限体の代数的閉包でない限り、二つの局所的Q-ファクタリアル多様体の積は、再び局所的Q-ファクタリアルである。
• 代数的閉体で、有限体の代数的閉包でない、有限型の正則局所環に対して、除集合群がねじれであることは、それが有限であることに同値である。
• 反例を構成した：特徴が2,3でない体上の二つの1種の曲線の積は、Q-ファクタリアルでない。これは、Picard多様体間にねじれでない準同型が存在するためである。