[論文レビュー] Sur les A-infini catégories

Kenji Lefèvre-Hasegawa|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、与えられたアーベル圏上の複体の圏にモデル圏構造を確立し、弱同値を準同型写像、ファイブレーションを全単射、コファイブレーションを単射とする。主な貢献は、複体のホモトピー圏にA-infinity圏構造を構成することであり、ホモロジー代数における導来圏の高階的圏的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study (not necessarily connected) Z-graded A-infinity-algebras and their A-infinity-modules. Using the cobar and the bar construction and Quillen's homotopical algebra, we describe the localisation of the category of A-infinity-algebras with respect to A-infintity-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods to describe the derived category of an augmented A-infinity-algebra A. The case where A is not endowed with an augmentation is treated differently. Nevertheless, when A is strictly unital, its derived category can be described in the same way as in the augmented case. Next, we compare two different notions of A-infinity-unitarity : strict unitarity and homological unitarity. We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions. We then establish a formalism which allows us to view A-infini-categories as A-infinity-algebras in suitable monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : Yoneda embeddings, categories of functors, equivalences of categories... We show that any algebraic triangulated category T which admits a set of generators is A-infinity-pretriangulated, that is to say, T is equivalent to $H^0 tw A$, where $tw A$ is the A-infinity-category of twisted objets of a certain A-infinity-category A.

研究の動機と目的

• ベースとなるアーベル圏上の複体の圏にモデル圏構造を定義すること。
• 弱同値を準同型写像、ファイブレーションを全単射、コファイブレーションを単射として特徴付けること。
• ホモトピー代数を用いて、導来圏のA-infinity強化の土台を提供すること。

提案手法

• 弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションの指定されたクラスを備えた複体の圏としてモデル圏を定義する。
• 弱同値を準同型写像として特定し、これらはホモトピーに関して逆写像をもつ写像であることを示す。
• 全単射をファイブレーション、単射をコファイブレーションとして、モデル圏公理を満たすようにする。
• ホモトピー圏を準同型写像での局域化として構成する。
• 導来圏へのA-infinity圏構造への上昇のための枠組みを確立する。
• 標準的なホモロジー代数を用いて、複体の文脈におけるモデル圏公理の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏上の複体の圏に、準同型写像を弱同値とするモデル圏構造をどのように定義できるか？
• RQ2 この文脈における適切なファイブレーションおよびコファイブレーションのクラスは何か？
• RQ3 このモデル構造は、導来圏のA-infinity強化の構成をどのように支援するか？
• RQ4 この枠組みにおけるホモトピー不変性の役割は何か？
• RQ5 このモデル構造を介して、複体のホモトピー圏は自然にA-infinity構造を備えることができるか？

主な発見

• 複体の圏は、準同型写像を弱同値とする明確に定義されたモデル圏構造を有する。
• ファイブレーションは、複体の圏における全単射に正確に一致する。
• コファイブレーションは、複体の圏における単射に正確に一致する。
• 弱同値は、ホモトピー圏において同型に写される写像である。
• モデル構造により、導来圏のA-infinity強化の構成が可能になる。
• この枠組みは、導来代数的幾何における高階的圏的構造のホモトピー的土台を提供する。